Общие понятия о регулировании в системах обеспечения функционирования источника плазмы, страница 3

где — вектор состояний объекта,  — вектор управления, который можно выбирать. В практических задачах к уравнению (как правило, добавляется неравенство, имеющее в наиболее общем случае вид

                                                 (1.4-5.2.)

Смысл этого неравенства состоит в том, что физическая характеристика объекта управления, величины управляющих воздействий, да и само время управления ограничены и не могут принимать сколь угодно больших величин. Так, например, если атомный реактор в течение секунд или долей секунды может превратиться в атомную бомбу, то естественно, что процесс управления должен протекать в течение этого же времени, т. е. должен быть указан интервал времени, на котором наблюдается движение.

В теории автоматического регулирования обычно этот интервал очень большой. Так, время полета самолета на много порядков больше времени компенсации его отклонений от заданной траектории. Понятно также, что конструируя автопилот, учитывают высотный потолок самолета, его максимальную скорость (дозвуковая или сверхзвуковая) и т. д., которые приводят к ограничениям на изменение фазовых координат типа

                                                  (1.4-5.3.)

где G_Х — некоторое множество произвольного вида, а значок Î обозначает принадлежность. Значок " («для всех»), так называемый квантор всеобщности, обозначает, что условие (1.4-5.3.) должно выполняться в любой момент времени.

Вектор управления  ограничен не только требованиями, накладываемыми на величины компонент, но и своей принадлежностью какому-либо классу функций. Например, мы можем выбирать управление только из класса непрерывных функций или кусочно непрерывных. Любую функцию

                                             (1.4-5.4.)

где G_U — соответствующее множество управлений, называют допустимым управлением.

Наряду с объектами, описываемыми уравнением (1.4-5.1.), в ТАУ рассматриваются также объекты, описываемые разностными уравнениями типа

                                   (1.4-5.5.)

где т = t_k+1 - t_k, а также более общего вида:

                                  (1.4-5.6.)

Такого рода дискретные системы часто рассматриваются при применении ЭВМ в системе управления.

Значительно более сложными для математического исследования являются объекты управления с так называемыми распределенными параметрами, в которых ряд параметров (например, массу летательного аппарата) нельзя считать сосредоточенными в одной точке. Математическая запись законов, которым они подчиняются, приводит к системам уравнений в частных производных. Еще более сложный математический аппарат используется в ТАУ при описании объектов с переменной структурой и в системах с запаздыванием, в которых состояние системы в данный момент времени определяется предысторией объекта управления.

1.4-5.3. Описание объекта управления.

Подводя итог сказанному выше, назовем уравнение (1.4-5.1.) математической моделью объекта управления, если:

1)  указана область определения функции )

2)  указан интервал времени Т = [t_H, t_K] (или [t_H, ∞], если t_K =∞), на котором наблюдается движение;

3)  указан класс допустимых управлений;

4) область и функция)таковы, что уравнение (1.4-5.1) имеет единственное решение, определенное при любом t  Т,    каково бы ни было допустимое управление .

Имея описание объекта управления, ТАУ решает две главные задачи:

Ø  задачу программирования, т. е. определения (выбора) , при котором гарантируется достижение цели из ;

Ø  задачу определения закона обратной связи.

Для того чтобы эти задачи были разрешимы, необходима полная управляемость объекта, описываемого математической моделью. Под полной управляемостью объекта понимают следующее: каковы бы ни были  - начальное и - конечное состояния, удовлетворяющие неравенству (1.4-5..2.), найдется хотя бы одно допустимое управление и интервал Т, при которых цель управления достижима. В случае если существуют такие ,  , что для любого допустимого управления  цель управления недостижима, то говорят, что объект управляем не полностью.