Математическое моделирование на ЭВМ

Санкт-петербургский государственный горный институт

(технический университет)

В. а. Коугия

Математическое моделирование на ЭВМ.

Конспект лекций

2003 г

1. ВВЕДЕНИЕ

1.1.  Понятие модели.

Познание мира – естественное состояние всего живущего. Без знания окружающей среды просто не прожить. Как для всего живого, это верно и для каждого человека индивидуально, и для человечества в целом.

Мир безграничен в своих свойствах, поэтому познать его до конца невозможно, и такая задача никогда не ставится. Познают только те явления, которые необходимо понять в данном конкретном случае. При этом, изучая явление, из множества его свойств познают только конкретные, главные, существенные.

А что есть главное?

Когда - как. В одних случаях важно одно, в других – другое.

Выделив главное, исследователь ищет закономерности изменения этого главного, возможность прогнозировать результат, повлиять на ход изменений.

При этом исследователя занимает уже не весь объект, а только отдельные его свойства и закономерности их развития. Формируется упрощенное представление объекта исследований.

Полученное упрощенное изображение объекта или процесса, отражающее наиболее существенные, главные его свойства и изучаемое в дальнейшем вместо самого объекта, называется моделью.

Вследствие упрощенности модель не может быть исчерпывающей.

Ограничен не только состав свойств, но и точность отображения тех конкретных свойств, ради которых модель построена.

Всякая модель может быть заменена более совершенной.

Примеры.

1) Изучение формы и размеров Земли. Модели: шар, эллипсоиды, геоид, квазигеоид. Постепенное уточнение параметров моделей.

2) Представление о строении вселенной. Модели: геоцентрическая система, гелиоцентрическая, современная модель.

Модели разнообразны и повсеместны.

Примеры: макет здания (прежде чем строить); схема кровообращения (плакат для обучения); модель самолета (для испытаний в аэродинамической трубе); пейзаж.

Общее - замена реального объекта более простым, но отражающим главное.

Изучая модель, узнаем новое об оригинале.

Построение модели называется моделированием.

Неоднозначность моделей:

A.  Один и тот же объект можно описать разными моделями в зависимости от исследуемых свойств (например, существуют разные теории света – лучевая, корпускулярная, волновая. И все - верные) или требуемой точности (модель Земли – шар, эллипсоид, геоид).

B.  Одна и та же модель может описывать разные явления (ошибки измерения, промахи в стрельбе, радиошум).

1.2. Классификация моделей.

Виды моделирования:

·  материальное (предметное);

·  идеальное (теоретическое).

Материальное моделирование:

·  физическое;

·  аналоговое.

Физическое моделирование.   Реальному объекту противопоставляют его уменьшенную или увеличенную копию, допускающую исследование на ней свойств объекта.

Примеры: в гидротехнике – лотки с водой – модели рек;

в судостроении – макеты судов в опытовом бассейне.

Аналоговое моделирование. Вместо процессов одной физической природы изучают процессы другой природы, но протекающие по тем же формальным законам. Например, вместо механических колебаний изучают электрические – их проще цифровать и ввести в ЭВМ.

Идеальное моделирование

·  интуитивное;

·  знаковое.

Интуитивное моделирование. Применяется, когда представление об объекте не поддается или не нуждается в формализации. Примеры: мнение о человеке, его характеристика; религиозное представление о мироздании; вера в приметы.

Знаковое моделирование. В качестве моделей используются формулы, графики, чертежи, а также правила оперирования с выбранными знаковыми образованиями и их элементами.

Математическое моделирование.

Математическое моделирование это – такое знаковое моделирование, при котором исследование объекта выполняется посредством его модели, сформулированной средствами математики.

Математическая модель – описание объекта математическими методами.

Основные виды математических моделей:

детерминированные и стохастические;

линейные и нелинейные;

дескриптивные и оптимизационные.

1.3. Место моделирования в научном исследовании.

Этапы научного исследования:

1. Формулирование задачи.
2. Выявление всех переменных величин.
3. Определение связи между ними.
4. Построение гипотезы – описание поведения исследуемой системы в зависимости от переменных величин.
5. Построение модели, реализующей гипотезу.
6. Проведение экспериментов.
7. Проверка гипотезы в зависимости от результатов экспериментов.
8. Принятие, отклонение или уточнение гипотезы. В последнем случае - вновь к пункту 5.

Требования к модели:

-  адекватность объекту относительно исследуемых свойств;

-  простота (доступность для ЭВМ);

-  робастность – устойчивость к ошибкам исходных данных;

-  наглядность.

Контрольные вопросы

1.  Какие свойства объекта отображает модель?

2.  С какой целью выполняется моделирование?

3.  Изложите классификацию моделей.

4.  Назовите основные виды математических моделей.

2. Детерминированные модели

2.1. Определение и примеры

Модель, которая на одни и те же значения входных параметров отвечает вполне определенными выходными параметрами, называется детерминированной.

Примеры.

Цифровая модель рельефа: координатам каждой точки соответствует своя высота.