Математика \ Математическое моделирование на ЭВМ

Математическое моделирование на ЭВМ, страница 4

Перепишем систему уравнений поправок, обозначив для краткости коэффициенты - параметры - свободные члены :

(2.12)

Решая систему уравнений поправок методом наименьших квадратов, найдем поправки к приближенным координатам x и у, соответствующие минимуму целевой функции .

Гипотеза 2. Предположим, что результаты измерения расстояний s₁, s₂, s₃, s₄ кроме случайных ошибок содержат значительную систематическую погрешность. Тогда кроме поправок v₁, v₂, v₃, v₄, направленных на ослабление случайных погрешностей должна быть введена общая для всех измерений поправка d, для компенсации общей систематической ошибки. Уравнения поправок принимают вид:

(2.13)

или

(2.14)

Теперь определяемых параметров три – х, у и d. Решая систему уравнений поправок методом наименьших квадратов, минимизируем целевую функцию . На величину поправки d при этом никаких ограничений не накладывается, в чем проявляется гипотеза о возможности значительной систематической ошибки, превышающей случайные.

Гипотеза 3. Выполнено компанирование дальномера. Систематическая ошибка устранена с некоторой, общей для всех измерений погрешностью. Теперь модель (2.12) не адекватна условиям задачи, так как предполагает полное отсутствие общей ошибки.

Модель (2.14) тоже не адекватна – она предполагает наличие доминирующей систематической ошибки.

Согласно гипотезе 3 модель надо записать так:

(2.15)

и минимизировать сумму

Для удобства решения задачи перепишем (2.15) иначе, добавив к системе уравнений тождество:

Запишем

(2.16)

В левой части уравнений – три определяемых параметра х, у и v_d. Решая систему уравнений поправок методом наименьших квадратов, найдем поправки x и у, соответствующие минимуму целевой функции , где в список минимизируемых поправок включена и поправка v_d.

2.6. Эмпирические формулы.

В практике нередки случаи, когда в результате наблюдений за поведением некоторого объекта получают ряд значений двух (или более) параметров, и требуется сформулировать математическую модель, отражающую связь между этими параметрами.

Например, сравнивая результаты измерения расстояний оптическим дальномером с эталонными значениями тех же расстояний, можем составить математическую модель ошибок измерений в виде эмпирической формулы и использовать эту формулу в дальнейшем для вычисления поправок в результаты измерений.

Другой пример. Наблюдая за осадками возведенного сооружения, стремятся сформулировать зависимость осадок от времени, построив модель процесса в виде формулы, которая позволяла бы оценить темп затухания процесса, прогнозировать величину осадок на будущее.

Рассмотрим порядок составления эмпирической формулы.

Пусть в результате экспериментов получен ряд значений двух переменных – х и у.

(2.17)

Необходимо подобрать формулу, отражающую связь между переменными x и y. Действия по подбору формулы выполняют в следующем порядке.

1. Точки с координатами x_i, y_i наносят на график. Рассматривая график, устанавливают примерный вид кривой, проходящей через нанесенные точки, обнаруживают и отбрасывают точки сильно от нее отклоняющиеся, как содержащие грубые ошибки.

2. Исходя из теоретических соображений и вида кривой, подбирают вид эмпирической формулы. Чем более обоснована формула теоретически, тем создаваемая модель будет адекватнее.

Запишем выбранную формулу в общем виде

(2.18)