Стохастические модели состояния, страница 9

Рассмотрим систему массового обслуживания с ожиданием, как наиболее общую систему обслуживания. Согласно уравнениям (11) и (6) математическая модель функционирования системы в стационарном режиме имеет вид:

(12)

где

Обозначим через среднее число требований (заявок), поступающих в систему обслуживания за среднее время обслуживания одной заявки. Так как среднее число заявок, поступающих в систему обслуживания в единицу времени равно, а среднее время обслуживания одной заявки равно, то

. (13)

Величину называют приведённой плотностью потока заявок.

Последовательно решив систему уравнений (12) (без последнего уравнения в ней), получим выражение вероятностей p_k через p₀:

(14)

, (15)

где – приведенная плотность ухода заявок из очереди.

С использованием последнего равенства в системе (12) получим для р₀ выражение:

(16)

Среднюю длину очереди определяют как математическое ожидание числа заявок в очереди. Из (15) находим

(17)

Формула (17) для вычисления достаточно сложна. Для вычисления этой величины существует другой подход, следовательно, другие формулы.

Введем обозначение для среднего числа занятых каналов обслуживания:

(18)

Формула (18) получена в результате следующих рассуждений. Поскольку интенсивность ухода из очереди равна, то в единицу времени систему покидает в среднем заявок. Значит, из поступивших в систему за единицу времени заявок будет обслужено.

Относительная пропускная способность системы

(19)

характеризует вероятность того, что заявка, поступившая в систему, будет обслужена. При отсутствии очереди, ( r=0), q=1.

Вернёмся к формуле (18). Воспользуемся тождеством при n= и тем фактом, что в состояниях S_m₊_r, r0, все каналы заняты и найдём

(20)

где вероятности р_k находим по формулам (14), (16). Учитывая равенства (18) и (19) находим

(21)

9.7. Стационарный режим функционирования

некоторых СМО

9.7.1. Чистые системы обслуживания с ожиданием

Так называют СМО с ожиданием, в которой заявки не покидают очередь. Но тогда и.

Из (16) находим:

(22)

Если, то ряд расходится, тогда p₀=0 и согласно (14), (16) p_k=0, k=1,2,… Это означает, что стационарного режима работы нет ( нарушается тождество), длина очереди неограниченно возрастает, система не справляется с обслуживанием заявок.

Если, то ряд сходится, его сумму легко вычислить: и для p₀ получаем выражение

(23)

Средняя длина очереди в этом случае при =0 может быть найдена из (17):

(24)

так как

Пример 4. На железнодорожную сортировочную горку прибывают составы с интенсивностью 2 состава в час. Среднее время обработки состава составляет 0,4 часа. Если горка занята, прибывшие составы становятся в очередь в парке ожидания с тремя путями, каждый из путей предназначен для одного состава. Если заняты пути в парке ожидания, то состав ожидает очереди на внешней ветке. Найти: среднее число составов ожидающих обработки; среднее время пребывания в парке ожидания; среднее время пребывания состава на внешней ветке; среднее время пребывания на сортировочной горке, включая время ожидания и время обслуживания; вероятность того, что прибывший состав займёт место на внешней ветке.

В задаче .