Стохастические модели состояния, страница 2

Уравнения (6), (7) называются уравнениями метода моментов.

Приведем обоснование этого метода. Воспользуемся формулой (4), дающей явный вид решения уравнения (3). Вычислим математическое ожидание и дисперсионную матрицу процесса X(t). , поскольку известно, что математическое ожидание стохастического интеграла от неслучайной функции равно нулю. Дифференцирование полученного равенства по t  дает уравнение (3). Далее, вычтем из равенства (4) полученное выражение для  , получим

,                       (8)

. Обозначим стохастический интеграл от неслучайной функции в правой части равенства (8) через . По свойству стохастических интегралов от неслучайных функций имеем

                            (9)

Учитывая независимость  получаем

. Продифференцируем  полученное выражение по t: 

= .

Справедливо утверждение [7]: если в модели (3) дополнительно- с. величина, имеющая нормальное распределение с параметрами m₀ и S₀ и  не зависит от СП W(t), t >0, то решение задачи Коши (3) является нормальным Марковским процессом.   При этом

                                           (10)

                      (11)

Пример 1.    Пусть в задаче (3)  X(t),  tÎT, -  двумерный СП и A(t)=A=, B(t)=B=, X₀=. Найдем вероятностные характеристики СП X(t), tÎT.

Прежде всего, матрицы A и  перестановочны: ,. Тогда резольвенту R(t,s) для системы (6) ищем в виде     R(t,s)=R(t-s)=R(t)=       Тогда решение (6) можно записать в виде равенства (10), то есть   

.  

Рассмотрим теперь уравнение (7).

 = , . Решением системы служит матрица .

Для  может быть получено выражение согласно формуле (11).

Из утверждений, сформулированных выше, можно сделать следующие выводы:

1.Так как СП, , описываемый равенством (3), является нормальным, то кроме математического ожидания процесса  и его ковариационной функции  можно записать одномерное распределение СП с помощью плотности вероятностей:     .

2.Поскольку СП  марковский, то его N-мерная плотность вероятностей  может быть записана в виде:, где плотность вероятностей:

      (12)

При этом  и  являются решениями следующих задач Коши:

, ,

,                                                                                  (13)

                   (14)

   

3. Если в стохастической задаче Коши (3), , , причём действительные части всех собственных чисел матрицы А отрицательные, то при  решение, , этой задачи можно считать стационарным (в широком смысле) нормальным марковским СП.

   Пример 2. Пусть скалярный СП, , является решением стохастической задачи Коши:

                                            

где  и  – неслучайные параметры, – стандартный винеровский процесс. Можно ли этот процесс считать стационарным в широком смысле по истечении некоторого времени? Если да, то чему равна его спектральная плотность?  

Определим  и  согласно формулам (6), (7) (10),(11). Сначала найдём резольвенту нормального ОДУ  ,. Она имеет вид:   .   Решение будет асимптотически устойчивым при. Тогда  и .  Далее решаем задачу Коши:

. Решение имеет вид: , , .

Выражение для  при  принимает вид:

 при  и .

Следовательно, ответ на вопрос задачи утвердительный. Найдём  по известной формуле (9) гл. IV: . Отметим, что при

,следовательно,   

.   Кроме того, пусть  . Тогда имеем

VIII. Непрерывные марковские процессы

Это такие МП, в которых пространство состояний X - непрерывное множество, и время изменяется также непрерывно. Такие процессы являются естественной моделью для описания эволюции динамических систем, подверженных случайным воздействиям. Наиболее изученными в настоящее время являются процессы  диффузионного типа или просто диффузионные процессы.

Определение 1. Случайный однородный МП X(t) называется процессом диффузионного типа, если его переходная вероятность  (см. 2.4)  удовлетворяет следующим условиям:

                                                                      (1)

                                                    (2)

                                       (3)

для любых