Стохастические модели состояния, страница 7

Введём обозначения: пусть  – возможное состояние системы, , где  – число каналов системы. Оно означает, что в системе занято ровно  каналов обслуживания; – состояние означает, что все  каналов обслуживания заняты и в очереди стоят  заявок,. Если на длину очереди не накладывают ограничений, то   может быть сколь угодно большим и система имеет счётное множество состояний. Системы с ограничениями на длину очереди и системы с отказами (заявка покидает систему, если в момент её поступления все каналы обслуживания заняты) имеют лишь конечное число состояний. В любой момент времени, таким образом, система обслуживания с  идентичными каналами находится в одном из своих состояний, при этом:

-если , то занято  каналов и очереди нет;

-если , то заняты все каналы и в очереди находятся  заявок, ;

-если , то система обслуживания с отказами;

-если , то систем с ограниченной длиной очереди;

-если , то систем с ожиданием (без ограничения на длину очереди).

Обозначим за  событие, состоящее в том, что в момент времени  система находится в состоянии, ,. Очевидно, что события  образуют полную группу событий, следовательно:                   

.                                                                (1)

Одна из задач ТМО сводится к нахождению вектора  как функции времени.

Из приведённых выше рассуждений и определения ДМП следует, что процесс обслуживания с простейшим входным потоком и экспоненциальным временем обслуживания является процессом гибели – размножения. Для размеченного графа такого процесса введём терминологию, принятую в ТМО. Элемент графа, соответствующий возможному состоянию системы , , называют k-ой вершиной графа; стрелки с означенными вероятностями перехода из одного состояния в другое – нагруженными дугами; переходные вероятности – весами. Пользуются следующим правилом при составлении уравнений Колмогорова: производная от вероятности пребывания системы в момент времени  в состоянии, , равна сумме произведений весов дуг, инцидентных данной вершине графа, на вероятность состояний, от  которых они направлены. При этом вес дуги берётся со знаком «+», если дуга направлена к k-ой вершине графа и со знаком «–» в противном случае.

        Пример 1. Рассмотрим простейшую задачу ТМО – задачу функционирования одноканальной системы обслуживания с отказами с простейшим входным потоком с параметром . Параметр экспоненциального времени обслуживания –.

Система имеет только два состояния: – канал свободен, – канал занят. Размеченный граф состояний имеет вид:

Далее мы докажем, что ,. Система уравнений Колмогорова (математическая модель процесса) имеет вид (при условии, что в начальный момент система находилась в состоянии):

                                           (2)

С учётом равенства (1): , , модель процесса можно упростить:

.                           (3)

Решением задачи Коши (3) служит вектор  , определяемый соотношениями:

, ,                          (4)

Важнейшими характеристиками системы массового обслуживания являются абсолютная и относительная пропускная способность.

Абсолютная – среднее число заявок, которое система может обслужить в единицу времени; относительная – отношение абсолютной пропускной способности к среднему числу поступивших за это время заявок.

Можно показать, что абсолютная пропускная способность одноканальной системы с отказами в установившемся режиме равна:

.                                                       (5)

Тогда относительная пропускная способность равна:

.                                                     (6)

Видим, что относительная пропускная способность системы в примере 21 совпадает с. В этом случае  является также пропускной способностью системы в любой момент времени:  означает, что в любой момент времени  канал свободен, а значит заявка, поступившая в момент времени, будет обслужена. А это означает, в свою очередь, что   есть отношение числа обслуженных заявок к их общему числу.