Стохастические модели состояния, страница 5

Однако этот обратный переход даже в случае скалярного марковского процесса X(t), , не является однозначным в силу того, что второе уравнение в (23) имеет бесконечное множество решений. В практике научных исследований для матричной функции  вводят дополнительное ограничение – матрица  должна быть симметричной. Это позволяет преобразовать равенство  в равенство , решение которого проще найти (в вычислительном отношении).

Пример 2. Пусть прямое уравнение Колмогорова (11) для условной плотности вероятности  скалярного МП X(t), , имеет вид:

.                                         (24)

Согласно обозначениям в уравнении (11) имеем ,. Матрицы диффузии  в (11) должны быть неотрицательно определёнными, следовательно, уравнение (24) определено лишь для  и, удовлетворяющим требованию.

Из соотношений (23)  следует, что,. Это значит, что стохастическое дифференциальное уравнение в форме Ито для СП X(t), , имеет вид:

,                                   (25)

где  – стандартный винеровский процесс, исходящий из нуля.

Пример 3. Определим систему стохастических дифференциальных уравнений, которой удовлетворяет двумерный марковский процесс), , если условная плотность вероятностей этого процесса  удовлетворяет обратному уравнению Колмогорова:   с известными параметрами  ,  и.

Согласно уравнению (2) имеем  ,     , а также   ,    .  Уравнения (23) дают

, .

Тогда система стохастических дифференциальных уравнений (17) может быть представлена в виде:

где, , – стандартный винеровский процесс, исходящий из нуля.

Пример 4. Пусть стохастическая модель состояния в форме Ито имеет вид: ,   .

Для определения коэффициентов сноса и диффузии достаточно воспользоваться равенствами (23): , .

Прямое уравнение Колмогорова для нахождения условной плотности вероятностей  с учётом замечаний в конце п. 8.2 и того факта, что начальное состояние является детерминированным, запишем в виде:

                              (26)

Введём обозначение  и запишем характеристическую функцию для СП X(t),:

,                                 (27)

которая является преобразованием Фурье условной плотности вероятностей по переменной. В силу (26) и свойств  преобразования Фурье, функция  является решением задачи:

или, что то же самое:

Изображение по Лапласу функции  (по переменной ) обозначим , последняя задача записывается в виде обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка относительно : ,.  Из (26) и свойства функции  следует, что  . Поэтому  ,  

и  . По изображению  находим оригинал вида:

.

В правой части получено выражение для натурального логарифма характеристической функции нормального распределения с математическим ожиданием  и дисперсией, что значительно упрощает дальнейшие вычисления. Поэтому выражение для  можно записать сразу,  это плотность вероятности нормального распределения с указанными параметрами:

,

где

,.

Иначе пришлось бы по виду  находить функцию, затем при помощи обратного преобразования Фурье находить функцию.

Упражнения

1. Пусть в стохастической задаче Коши     , n=2,   . Определить  ковариационную матрицу и м.о. ее решения.

2. Пусть в стохастической задаче Коши (задача 1)  n=2, . Определить м.о., ковариационную матрицу и дисперсионную матрицу ее решения.

3. Найти м.о. и дисперсию стохастического интеграла  по  стандартному винеровскому процессу, α > 0 - неслучайный параметр.

4. Найти м.о. и дисперсию интеграла Ито .

5. Найти дисперсию интеграла Ито , где - скалярный СП;   - неслучайные параметры.

6. Доказать, что  СП  , имеет стохастический дифференциал в форме Ито .

7. Доказать, что стохастическое дифференциальное уравнение  имеет решение , удовлетворяющее начальному условию

8. Доказать, что стохастическая задача Коши      ,  имеет решение .

9. Напишите уравнение  Чепмена – Колмогорова. Почему оно справедливо лишь для марковских процессов?

10. Можно ли утверждать, что: а) каждая стохастическая модель состояния однозначно определяет СП? б) каждый марковский процесс порожден стохастической системой  состояния? в) каждый МП однозначно определяет стохастическую модель состояния?