Математика \ Математика

Дифференциал и интеграл булевой функции, страница 9

Доказательство:

По определению дифференциала для операции дизъюнкция:

∂fl (xl,x2,...,xn) v f2 (xl,x2,...,xn)

_________________________          =

∂xk                                             v

= ∂fl (xl,x2,...,xk=0,...,xn) v ∂f2 (xl,x2,...,xk=0,...,xn) v ∂fl (xl,x2,...,xk=1,...,xn) v ∂f2 (xl,x2,...,xk=1,...,xn) = (∂fl (xl,x2,...,xk=0,...,xn) v ∂fl (xl,x2,...,xk=1,...,xn)) v       v (∂f2 (xl,x2,...,xk=0,...,xn) v ∂f2 (xl,x2,...,xk=1,...,xn)) =

∂fl (xl,x2,...,xn)                ∂f2 (xl,x2,...,xn)

=   ___________           v    ____________

∂xk                v                       ∂xk                  v

Что и требовалось доказать.

Представим эту теорему для логической функции, содержащей в себе m-подфункций.

Теорема 2.

Дифференциал для операции дизъюнкция логической функции

        m                                                                                                                    __                                        _____

V fi (xl,x2,...,xn) = f1  (xl,x2,...,xn) v f2  (xl,x2,...,xn) v … v fm  (xl,x2,...,xn)

      i=1                                                                                                   

равен дизъюнкции дифференциалов данных функций для операции дизъюнкция:

        m                                                                                                            __                                        _____

∂ (V fi (xl,x2,...,xn))                           ∂ fi (xl,x2,...,xn)               

i=1                                                                  m

          ________________          =     V       ____________

¶хk                              Ú         i=1                 ¶хk                                      Ú                                     

Доказательство:

По определению дифференциала для операции дизъюнкция:

∂(fl (xl,x2,...,xn) v f2 (xl,x2,...,xn) v … v fm  (xl,x2,...,xn))

___________________________________________              =

¶хk                                                                               Ú  

= ∂f1 (xl,x2,...,xk=0,...,xn) v ∂f2 (xl,x2,...,xk=0,...,xn) v …                                   v ∂fm (xl,x2,...,xk=0,...,xn) v ∂fl (xl,x2,...,xk=1,...,xn) v ∂f2  (xl,x2,...,xk=1,...,xn) v …  v ∂fm (xl,x2,...,xk=1,...,xn) = (∂f1 (xl,x2,...,xk=0,...,xn) v ∂f1 (xl,x2,...,xk=1,...,xn)) v     v (∂f2 (xl,x2,...,xk=0,...,xn) v ∂f2  (xl,x2,...,xk=1,...,xn)) v …                                          v (∂fm (xl,x2,...,xk=0,...,xn) v ∂fm (xl,x2,...,xk=1,...,xn)) =

        ∂ f1 (xl,x2,...,xn)            ∂ f2 (xl,x2,...,xn)                    ∂ fm (xl,x2,...,xn)                                   

=      ____________        V _____________       V … V ____________

¶хk                         Ú                ¶хk                      Ú                              ¶хk                        Ú

Что и требовалось доказать.

Аналогичные теоремы можно представить и для операции конъюнкция.

Теорема 3.

Дифференциал для операции конъюнкция логической функции

F(xl,x2,...,xn)= fl (xl,x2,...,xn) & f2 (xl,x2,...,xn)

равен конъюнкции дифференциалов данных функций для операции конъюнкция:

∂F(xl,x2,...,xn)                ∂fl (xl,x2,...,xn)                 ∂f2 (xl,x2,...,xn)

____________          =  ____________          &   ____________

¶хk                           &                   ¶хk                           &                      ¶хk                           &

Представим эту теорему для сложной логической функции, содержащей в себе m-подфункций.

Теорема 4.

Дифференциал для операции конъюнкция логической функции

 m

&  fi (xl,x2,...,xn) = fl (xl,x2,...,xn) & f2 (xl,x2,...,xn) & … & fm (xl,x2,...,xn)

i=1

равен конъюнкции дифференциалов данных функций для операции конъюнкция:

        m                                                                                                            __                                        _____

Скачать файл