Математика \ Математика

Дифференциал и интеграл булевой функции, страница 13

f1(x1,x2,..., xn) Ú f2(x1,x2,..., xn)&xn+1; f1(x1,x2,..., xn)&xn+1 Ú f2(x1,x2,..., xn) }

Доказательство.

 


¶(f1(x1,x2,..., xn) Ú f2(x1,x2,..., xn)&xn+1)  

                     _______________________________        =

¶хn+1                                         Ú

= f1(x1,x2,..., xn) Ú f1(x1,x2,..., xn) Ú f2(x1,x2,..., xn) =

= f1(x1,x2,..., xn) Ú f2(x1,x2,..., xn);

 


¶(f1(x1,x2,..., xn) &xn+1 Ú f2(x1,x2,..., xn))  

                     _______________________________        =

¶хn+1                                         Ú

= f2(x1,x2,..., xn) Ú f1(x1,x2,..., xn) Ú f2(x1,x2,..., xn) =

= f1(x1,x2,..., xn) Ú f2(x1,x2,..., xn);

                                                                            _

¶(f1(x1,x2,..., xn) Ú f2(x1,x2,..., xn)&xn+1)  

                     _______________________________        =

¶хn+1                                                       Ú

= f1(x1,x2,..., xn) Ú f2(x1,x2,..., xn) Ú f1(x1,x2,..., xn) =

= f1(x1,x2,..., xn) Ú f2(x1,x2,..., xn);

                                                   _ 

¶(f1(x1,x2,..., xn) &xn+1 Ú f2(x1,x2,..., xn))  

                     _______________________________        =

¶хn+1                                         Ú

= f1(x1,x2,..., xn) Ú f1(x1,x2,..., xn) Ú f2(x1,x2,..., xn) =

= f1(x1,x2,..., xn) Ú f2(x1,x2,..., xn),

что и требовалось доказать.

Обобщая результаты теорем 1 и 2, докажем следующую теорему.

m

  Теорема 3.  Интеграл от логической функции  Ú fi(x1,x2,..., xn) =

i=1

= f1(x1,x2,..., xn) Ú f2(x1,x2,..., xn) Ú ... Ú f2(x1,x2,..., xn)

по переменной xn+1 для операции дизъюнкция  равен следующему множеству функций от xn+1 переменных:

m

{      Ú   fi(x1,x2,..., xn) Ú fj(x1,x2,..., xn)& xn+1  (j = 1¸ m);

i=1 (i ¹j )

m                                                                  _

Ú   fi(x1,x2,..., xn) Ú  fj(x1,x2,..., xn)& xn+1  (j = 1¸ m)}

i=1 (i ¹j )

Доказательство.

                                   m

¶(  Ú   fi(x1,x2,..., xn) Ú fj(x1,x2,..., xn)& xn+1  )  

i=1 (i ¹j )                                                                                    =

                        _____________________________________

¶хn+1                                                               Ú

m                                        m

=      Ú   fi(x1,x2,..., xn)  Ú   Ú   fi(x1,x2,..., xn)   Ú  fj(x1,x2,..., xn)  =

i=1 (i ¹j )                             i=1 (i ¹j )

m

= Ú fi(x1,x2,..., xn);

i=1

                                   m                                                                 _

¶(  Ú   fi(x1,x2,..., xn) Ú fj(x1,x2,..., xn)& xn+1  )  

i=1 (i ¹j )                                                                                                =

                        _____________________________________

¶хn+1                                                               Ú

m                                                                       m

=     Ú   fi(x1,x2,..., xn) Ú  fj(x1,x2,..., xn) Ú   Ú   fi(x1,x2,..., xn) =

i=1 (i ¹j )                                                            i=1 (i ¹j )

m

= Ú fi(x1,x2,..., xn).

i=1

Данные преобразования доказывают теорему.

            Теорема 4.   Если f1(x1,x2,..., xn) ¹ f2(x1,x2,..., xn) и

ò f1(x1,x2,..., xn)dxn+1= {F11,F12, ...,F1m}; ò f2(x1,x2,..., xn)dxn+1= {F21, F22, ... ,F2n},

Ú                                                             Ú

то для любого i и j     F1i ¹ F2j.

Доказательство.

          Допустим существуют i и j такие, что F1i(x1,x2,..., xn+1) = F2j(x1,x2,..., xn+1), т.е.

¶F1(x1,x2,..., xn+1)  

                    ______________        = f(x1,x2,..., xn) = f1(x1,x2,..., xn);

¶хn+1                  Ú

 

Скачать файл