Математика \ Математика

Дифференциал и интеграл булевой функции, страница 3

        m                                                        m                                                        m

∂( V fi (xl,x2,...,xn))           =  V fi (xl,...,x k=0,...,xn) v V fi (xl,...,x k=1,…, xn) =

       i=1                                     i=1                                                       i=1

_______________

∂x k                    v   

       m

= V    ∂(fi (xl,x2,...,xn))

     i=1

          _____________

∂x k                v , что и требовалось доказать.

Практическое исследование интеграла булевой функции

Данная глава представляет собой краткое описание экспериментального исследования возможности интегрального исчисления булевых функций [2], определяемого как обратная операция дифференцированию. Исследования интегралов булевых функций для логических операций дизъюнкция, конъюнкция и «сложение по модулю 2» проводились на основе специально разработанного Программного Инструментария для нахождения дифференциалов интегралов логических функций.

Практическое  исследование  интегралов   булевой   функции

                           m

f (xl,x2,...,xn)   =  V fi (xl,x2,...,xn) по заданной логической операции

                    i=1

проводилось в следующем порядке: постепенно увеличивая сложность представления функции i (от одной конституэнты до максимального их числа в функции m), рассматривались соответствующие множества интегральных функций, что позволило на основе полученных результатов определить общий вид множества интегральных функций для каждой операции и выявить некоторые присущие им закономерности.

Рассмотрим множество интегральных функций для логической функции f (xl,x2,...,xn)   =  x2 , x3  по переменной xn+1  =  x1 , найденное с помощью Программного Инструментария (n = 2).

№ п/п

Номер

Функция

1

1

00000001

2

16

00010000

3

17

00010001

В первом столбце содержатся порядковые номера соответствующих интегральных функций; второй столбец представляет собой их «номера», т. е. числа, полученные при преобразовании программного вида функций (т. е. их двоичного кода) в десятичное число; третий столбец содержит сами интегральные функции (зависящие от n + 1 переменных), точнее, их двоичное представление. Каждая единица в представлении функции есть значащая конституэнта функции, причем первый символ (1 или 0) соответствует набору 00 ... 0 (все нули), а последний — 11 ... 1 (все единицы). Количество конституэнт в функции равно 2n, где n — размерность пространства. В данном случае имеем 23 = 8 конституэнт. Следует отметить, что все вычисления проводились для неминимизированных логических функций с целью проведения полного анализа, не допускающего потери данных; кроме того, это позволило увидеть некоторые свойства множества интегральных функций для каждой операции.

Преобразуем три полученные функции от n + 1 переменных к общему виду следующим образом:

Fl  = xl x2 x3 = f (xl,x2,...,xn) & xl  = f (xl,x2, ...,хn) & хn+1;

_                                                      _                                            _                     

Fl6  = xl x2 x3 = f (xl,x2,...,xn) & xl  = f (xl,x2, ...,хn) & хn+1;

_                                                                            _                                                                

Fl7  = xl x2 x3 v xl x2 x3 = f (xl,x2,...,xn) & (xl  v xl ) = f (xl,x2, ...,хn) & 1 =

f (xl,x2,...,xn)

и получим множество интегральных функций по операции дизъюнкция для логических функций, принимающих значение 1 только в одной точке пространства (содержащих одну конституэнту). Проверим этот результат на основании расширенного определения дифференциала булевой функции для операции дизъюнкция:

∂f (xl,x2,...,xn)

Скачать файл