Математика \ Математика

Дифференциал и интеграл булевой функции, страница 10

∂ (& fi (xl,x2,...,xn))                           ∂ fi (xl,x2,...,xn)               

i=1                                                                  m

          ________________          =     &       ____________

¶хk                              &             i=1                 ¶хk                               &                                     

Доказательство теорем 3 и 4 аналогично доказательству теорем 1 и 2.

Анализируя теоремы 1 и 3 и используя определение дифференциала 1, для функции можем сформулировать теорему для любой двуместной логической операции.

Теорема 5.

Дифференциал для некоторой двуместной операции p для  логической функции

F(xl,x2,...,xn) = p (fl (xl,x2,...,xn), f2 (xl,x2,...,xn))

равен:

∂F(xl,x2,...,xn)                ∂fl (xl,x2,...,xn)                 ∂f2 (xl,x2,...,xn)

____________          =  ____________          P   ____________

¶хk                           p                   ¶хk                           p                      ¶хk                           p

Обобщим эту теорему для функции, состоящей из m-подфункций.

Теорема 6.

Дифференциал для некоторой двуместной операции p для  сложной логической функции

F(xl,x2,...,xn) = p (fl (xl,x2,...,xn), f2 (xl,x2,...,xn), … , fm (xl,x2,...,xn))

равен:

        m                                                                                                            __                                        _____

∂ (P fi (xl,x2,...,xn))                           ∂ fi (xl,x2,...,xn)               

i=1                                                                  m

          ________________          =     P       ____________

¶хk                              p             i=1                 ¶хk                               p                                     

Предположим, что мы будем использовать двуместную операцию p1(a,b), а подфункции fi (xl,x2,...,xn) в функции F(xl,x2,...,xn) будут связаны между собой двуместной операцией p2(a,b). Тогда логично предположить, что для данной функции будут справедливы теоремы 5 и 6. Представим полученный результат в виде теорем 7 и 8.

Теорема 7.

Дифференциал для некоторой двуместной операции p1 для логической функции:

F(xl,x2,...,xn) = p2 (fl (xl,x2,...,xn), f2 (xl,x2,...,xn))

равен:

∂F(xl,x2,...,xn)                ∂fl (xl,x2,...,xn)                 ∂f2 (xl,x2,...,xn)

____________          =  ____________          P2   ____________

¶хk                           p1                   ¶хk                           p1                      ¶хk                           p1

Доказательство:

По определению дифференциала для операции p(a,b)  (1):

∂(fl (xl,x2,...,xn) p2  f2 (xl,x2,...,xn))       

___________________________             =

¶хk                                                 p1                

= (∂f1 (xl,x2,...,xk=0,...,xn) p1 ∂f2 (xl,x2,...,xk=0,...,xn)) p2                                 p2 (∂f1 (xl,x2,...,xk=1,...,xn) p1 ∂f2 (xl,x2,...,xk=1,...,xn) = (∂f1  (xl,x2,...,xk=0,...,xn) p2 ∂f1 (xl,x2,...,xk=1,...,xn) p1 (∂f2 (xl,x2,...,xk=0,...,xn)) p2 ∂f2 (xl,x2,...,xk=1,...,xn)) =

    ∂f1 (xl,x2,...,xn)                 ∂f2 (xl,x2,...,xn)                 

=  ____________          p2     ____________         

¶хk                           p1                        ¶хk                          p1         

Что и требовалось доказать.

Теорема 8.

Дифференциал для некоторой двуместной операции p1 для логической функции:

F(xl,x2,...,xn) = p2 (fl (xl,x2,...,xn), f2 (xl,x2,...,xn), … , fm (xl,x2,...,xn))

равен:

∂F(xl,x2,...,xn)                ∂fl (xl,x2,...,xn)                ∂f2 (xl,x2,...,xn)

____________         =  ____________         P2   ____________         P2 …

¶хk                          p1                   ¶хk                          p1                      ¶хk                        p1

 

Скачать файл