Бесстолкновительная плазма. Дебаевская длина экранирования, страница 6

1)  γ = 0, постоянная скорость ионизации:

   ξ₀ = 0,3444;          (3.42)

2)  γ=1, ионизация, пропорциональная n_е:

    ξ₀=0,3444;                                       (3.43)

3) γ = 2, ионизация, пропорциональная n_е²:

,  ξ₀=0,4920,                            (3.44)

где интеграл

                                                            (3.45)

связан с функцией Доусона F(x), определенной согласно (2.129)[4].

Все эти зависимости имеют вид, изображенный на рис. 3.5 для случая γ = 1. В каждом случае нижняя ветвь двузначной кривой η(ξ) возрастает по мере роста ξ до тех пор, пока не достигнет максимального значения ξ₀ при η = η = 0,854, и затем переходит в верхнюю ветвь по мере уменьшения ξ. Часть кривой η(ξ), соответствующая , не представляет интереса с физической точки зрения. При в бесконечность стремится не только , но иd²η/dξ²,что делает некорректным отбрасывание первого слагаемого в выражении (3.39). Точное решение должно иметь вид, показанный на рис. 3.6, который отличается от плазменного решения в области, где производная d²η/dξ²становится настолько большой, что пренебрежение первым членом в уравнении (3.39) становится неоправданным.

Место, где возникает отличие точного решения от плазменного, можно найти из рис. 3.7, на котором в виде функции нанесен график величины d²η/dξ² зависимости (3.43) и использовано соотношение

(3.46)

В лабораторных условиях, когда 10^-8< (λ_D/L)²<10 ^-4условия применимости плазменного приближения (n_e = n_i), т. е. отбрасывание первого члена в уравнении (3.39), справедливы вплоть до очень малых расстояний от границы. Точку, в которой следует ожидать отклонения от плазменного решения, легче определить из графика d²η/dξ²как функцию η(рис. 3.8). Например,   если (λ_D/L)²=10 ^-5, то n_еи n_iбудут различаться на 10 % практически при ξ = ξ₀ (см. рис. 3.6), но из рис. 3.7 следует, что при этом η = 0,78, а это существенно меньше η₀ .Переход от .плазменного решения к решению в слое, который происходит около этой точки, обсудим в разд. 3.8. Крутой наклон кривой, соответствующей плазменному решению в точке его перехода к решению в слое, показывает, что толщина слоя должна быть очень малой по сравнению с шириной плазмы а. В таком случае мы можем положить, что переменная ξ=x/Lна плазменной границе будет иметь значение

 ξ₀ = a/L,                                                                          (3.47)

что дает при постоянной скорости ионизации

L = а/0,3444,                                                                    (3.48)

при скорости ионизации, пропорциональной n_e,

L = а/0,4046                                                           (3.49)

И  приg~n_e²

L = a/0,4920.                                                                    (3.50)

Корректное сравнение этих трех решений получается при нормировке на ξ₀, т. е. при нанесении графиков η в зависимости от ξ/ξ=x/a. Они представлены на рис. 3.9.

Эти кривые очень похожи, было бы очень трудно выбрать нужную на основе экспериментальных данных    и, насколько известно автору, никто не сумел определить потенциал плазмы в разряде в зависимости от расстояния с точностью, достаточной для выбора типа ионизации. Хотя некоторые исследователи (см., например, [269]) показали, что общее поведение потенциала согласуется с изображенным на рис. 3.9.

Б. Цилиндрическая и сферическая геометрии

Если плазма образуется в объеме, ограниченном цилиндрическими или сферическими границами, то вычисления проводятся по той же схеме, что и для плоской геометрии, но вместо уравнения (3.29) имеем

                                                          (3.51)

причем и=1для цилиндрической геометрии и и = 2 для сферической (случай и = 0 приводит к плоской геометрии и рассматривался отдельно). Как и в плоском случае, выберем в качестве п₀ электронную или ионную плотность в центре, где потенциал, определяемый величиной η= -eV/kT, полагается равным нулю. Проведя выкладки, аналогичные приведшим к уравнению (3.35), имеем

,                     (3.52)