Бесстолкновительная плазма. Дебаевская длина экранирования, страница 11

Б. Точное численное решение

Теперь у нас имеются два решения полного уравнения плазма— слой, одно из них пригодно в области плазмы, а другое описывает слой. Эти решения должны сшиваться подобно тому, как показано на рис. 3.6. Селф [247] численно проинтегрировал уравнение (3,35) и — с целью проверки —уравнение (3.36), которое он получил, интегрируя (3.35). Его результаты для рассмотренных нами выше трех значений γи разных значений параметра приведены в табл. 3.2. и изображены для случая γ =1 на рис. 3.13.

Для того чтобы проверить полученные Селфом решения для слоя, приведем переменную ξ = x/Lк виду

т. е. к расстоянию, измеряемому в направлении плазмы в единицах дебаевской длины λ_D; здесь  выбрано нулевым при η= = 6,5. Полученные зависимости показаны на рис. 3.14, на рис. 3.15 кривая при α=10~³ сравнивается с решением в слое (рис. 3.12). Важно провести такое сравнение, поскольку кривая на рис. 3.12 обладает общностью, в то время как решения Селфа пригодны лишь для конкретных значений γ и а.

Как можно видеть, при α<10~³ потенциал в слое почти совпадает с асимптотическим решением, поэтому интересно знать параметры плазмы, соответствующие таким значениям α.

Предположим, что полуширина плазмы а = 0,1 м, т. е. L ~ 0,25 м. Тогда при α=10 ^-3 получим λ_D~ 1,77• 10 ^{-4 м}. Для типичной лабораторной плазмы с kT/e=5BВ это соответствует плотности 8,9∙10¹⁵ м ^-3 = 8,9∙10⁹ см ^-3. Это плазма весьма низкой плотности, ее плотность в 100 раз меньше плотности плазмы,  используемой  в  интенсивных  источниках  ионов.  Кривая на рис. 3.12 позволяет рассчитать изменение потенциала в слое в широком диапазоне параметров плазмы, получаемой в лабораторных условиях и практически для всех ионно-плазменных источников.

Уравнение Чайлда вследствие своей простоты часто используют для оценки толщины слоя. Интересно проверить справедливость этого приближения. Пусть V₀ — значение потенциала на границе плазма —слой, тогда из (2.8) и (3.69) получим

где х₀—толщина слоя, а расстояние хотсчитывается от стенки.

Переходя к η = —eV/kTи , запишем

.                                                   (3.82)

Взяв η₀ = 0,854, получим, положив η = 6,5 при, значение. Как следует из рис. 3.15, такое решение является грубой аппроксимацией; при η = 6,5 оно приводит к толщине слоя, почти втрое меньшей значения, полученного при использовании решения Селфа или при приближенном описании слоя.

При другом подходе, который легко осуществить и который усовершенствует рассмотрение на основе уравнения Чайлда, следует приписать ионам на границе слоя энергию Бома кТ/2и использовать (2.47). Согласно рис. 3.15, это приводит в рассматриваемом слое к толщине слоя, вдвое меньшей истинной толщины. Представленное на рис. 3.12 решение в слое также легко допускает грубые аппроксимации.

Трудно получить точное значение толщины слоя. Для ее определения Селф предлагает использовать     точку    η = η   или ξ=ξ₀. Однако в указанной области наклон кривой слишком мал, чтобы придавать глубокий смысл полученному таким образом значению. Например, из рис. 3.14 следует, что в масштабах дебаевской длины кривые при α= 10 ^-3 и α=10 ^-2,5 почти совпадают. Однако, если использовать критерий η = η₀то толщины слоя заметно различаются. При Селф получает толщину слоя 14,8 λ_Dдля случая α=10 ^-2,5 и 17,6λ_Dдля случая α=10 ^-3.

Поскольку уравнение Чайлда столь часто используется для оценки толщины слоя, полезно посмотреть, насколько большой должна быть величина η, прежде чем это уравнение становится приемлемой заменой решения в слое. Используя уравнение Чайлда, из (3.82) получим соотношение

                       (3.83)

Для решения в слое этот градиент потенциала задается уравнением (3.79), так что следует оценить f(η) при больших η. В   (3.81)   член , член  под    интегралом превращается   в ,  Тогда имеем

                                       (3.84)

где

                                                  (3.85)

Вынося за скобки, получим

 (3.86)