1. Составить программу вычисления коэффициентов Фурье.
2.
Ввести исходные данные: количество гармонических составляющих , функцию
,
точность вычисления определенного интеграла
.
3.
Найти коэффициенты и
.
4.
Сравнить графики функции и функции, полученной в
результате синтеза Фурье. На основании этого сравнения сделать выводы о точности
представления заданной функции рядом Фурье.
3. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ
Задание 1
Задание 1 имеет учебной целью закрепление пройденного материала по теме «Интерполяция функций многочленом Лагранжа».
Условие задания 1. Получить значение функции , заданной таблицей 8, в
точке
, где
при помощи интерполяционного многочлена Лагранжа.
x |
1,5 |
3,5 |
5,5 |
7,5 |
9,5 |
|
1,047 |
46,283 |
–6,887 |
14,492 |
42,236 |
Алгоритм выполнения задания. Построение многочлена Лагранжа относится к методам глобальной интерполяции (интерполяционный многочлен един для всего интервала [x0; xn]). Многочлен Лагранжа позволяет интерполировать таблицы с неравномерным шагом аргумента и легко реализуется на ЭВМ. Обычно его записывают в следующем виде:
В случае выполнения расчетов на ЭВМ нет необходимости раскрывать скобки
и производить возведение в степень, а достаточно произвести перемножение
соответствующих сомножителей, что повышает точность расчетов. В этом случае
основная рабочая часть программы состоит из двойного цикла – во внутреннем
цикле вычисляются значений многочленов-слагаемых
вида
а во внешнем цикле накапливается общая сумма
Ниже приведен текст программы на языке Паскаль.
Program Lagranzh;
{ Интерполяция функций с использованием многочлена Лагранжа}
const n=4;
x:array [0..n] of real=(1.5,3.5,5.5,7.5,9.5);
y:array [0..n] of real=
(1.047,46.283,-6.887,14.492,42.236);
var L,p1,p2,xv:real;
i,k:integer;
begin write ('Введите значение точки a=');
readln (xv);
L:=0;
for i:=0 to n do
begin p1:=1; p2:=1;
for k:=0 to n do
if i<>k then
begin p1:=p1*(xv-x[k]);
p2:=p2*(x[i]-x[k]);
end;
L:=L+y[i]*p1/p2;
end;
writeln('L(',xv:7:3,')=',L:7:3);
readln;
end.
Задание 2
Задание 2 имеет учебной целью закрепление пройденного материала по теме «Численное интегрирование. Метод прямоугольников. Метод трапеций. Метод Симпсона».
Условие задания 2. Вычислить значение определенного интеграла
по
формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона с точностью =0,00001.
Алгоритм выполнения задания.
Метод прямоугольников состоит в вычислении интегральной суммы. При этом
площадь фигуры, ограниченной функцией ,
складывается из площадей элементарных прямоугольников
;
; где
;
– количество элементарных участков
разбиения отрезка [a; b]. В результате график функции
представляется
в виде ступенчатой функции, состоящей из
ступеней.
Расчетная формула метода прямоугольников записывается в следующем виде:
(4)
где h
– шаг интегрирования, . Очевидно, при возрастании
ступенчатая функция приближается к функции
. Степень необходимого приближения, т.е.
количество участков разбиения
определяется заданной
точностью
.
Метод трапеций
основан на линейной интерполяции, т.е. график функции представляется
в виде ломаной, соединяющей точки
:
;
. В
этом случае площадь всей фигуры складывается из площадей элементарных трапеций.
Расчетная формула метода трапеций записывается в следующем виде:
где h
– шаг интегрирования, .
Метод
Симпсона основан на квадратичной
интерполяции, т.е. на каждом отрезке подынтегральная функция заменяется многочленом второй степени.
Расчетная формула метода Симпсона имеет вид
где n – четное число.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.