Далее необходимо перейти к изучению метода Ньютона, который обладает более быстрой сходимостью, чем метод простой итерации. Метод Ньютона основан на разложении функций системы в ряд Тейлора, причем члены, содержащие производные второго и более высокого порядков, отбрасываются. Задача состоит в нахождении приращений к приближенным значениям неизвестных системы. Эти приращения определяются из системы линейных уравнений, для решения которой используется метод Гаусса, изученный в разделе 4. В результате изучения метода Ньютона следует обратить внимание на важность удачного выбора начального приближения для обеспечения хорошей сходимости.
Вопросы для самоконтроля
1. Запишите итерационные формулы для определения нового приближения.
2. Нарисуйте блок-схему метода Ньютона системы двух уравнений.
Тема 6. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ
Основные понятия. О методах решения. Задача Коши. Метод Эйлера. Метод Рунге – Кутта.
Литература: [2]; [3], [4], [5].
Методические указания
Многие задачи механики, физики и других отраслей науки и техники при их математическом моделировании сводятся к дифференциальным уравнениям и их системам. Изучение темы следует начать с задачи Коши, которая предполагает нахождение решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, удовлетворяющего заданным начальным условиям. Далее необходимо перейти к рассмотрению методов решения задачи Коши. Рекомендуется ознакомиться с одношаговым численным методом – методом Эйлера. Алгоритм метода достаточно прост, однако из-за высоких погрешностей применяется сравнительно редко при небольшом числе расчетных точек.
Наиболее употребительным одношаговым методом является метод Рунге-Кутта. Этот метод требует большего объема вычислений, однако это окупается повышенной точностью, что дает возможность производить счет с большим шагом. Рекомендуется изучить алгоритм метода Рунге-Кутта четвертого порядка точности, который чаще всего применяют на практике.
Вопросы для самоконтроля
1. Что называется обыкновенным дифференциальным уравнением?
2. Определите порядок дифференциального уравнения
.
3. Нарисуйте блок-схему метода Эйлера.
4. Нарисуйте блок-схему метода Рунге-Кутта.
Тема 7. АНАЛИЗ И СИНТЕЗ ФУРЬЕ
Ряды Фурье и область их применения. Прямое и обратное преобразование Фурье. Разложение периодического сигнала в ряд Фурье. Разложение ступенчатого импульса при помощи преобразования Фурье.
Литература: [6], [7].
Методические указания
К фундаментальным положениям математики относится возможность представления периодических (а при определенных условиях и непериодических) функций совокупностью их гармонических составляющих (синусов и косинусов) в виде ряда Фурье. Эта возможность используется во множестве прикладных областей; на ее основе реализуется передача через каналы связи практически любой информации, например, музыки и речи.
При изучении темы необходимо ознакомиться с понятиями прямого и обратного преобразований Фурье, разобраться с алгоритмом спектрального анализа и синтеза любого сигнала. В качестве примера рассмотреть разложение ступенчатого импульса в ряд Фурье.
Вопросы для самоконтроля
1. Что называют основной гармоникой сигнала?
2. Что называют спектральным анализом функции?
3. Что называют спектральным синтезом функции?
2. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
В данном разделе предложены варианты контрольных заданий. Каждый вариант состоит из семи заданий. Для студентов заочного обучения номер варианта выбирается в соответствии с порядковым номером в списке группы. Примеры выполнения заданий приведены в разделе 3.
Оформляется работа в рукописном варианте в тетради или в печатном варианте на стандартных листах.
Задание 1
Получить
значение функции 
, заданной таблично, в точке 
при помощи интерполяционного многочлена Лагранжа.
Варианты заданий приведены в таблице 1.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.