Одной из задач вычислительной математики является задача о аппроксимации (приближении) функций. Часто в результате экспериментов или расчетов известно табличное задание функции и аргумента. Однако на практике могут понадобиться значения функции и в других точках, отличных от заданных значений аргумента. Таким образом, возникает необходимость использование табличных данных для приближенного вычисления искомой функции при любом значении аргумента. Этой цели и служит задача о приближении функций. В ходе изучения темы студент должен ознакомиться со способами аппроксимации функций, понятиями интерполяции и экстраполяции. Далее следует перейти к рассмотрению алгоритмов линейной и квадратичной интерполяции, которые достаточно просты в реализации на ПЭВМ. После чего необходимо перейти к изучению метода глобальной интерполяции функций многочленом Лагранжа, который обладает большей точностью, чем предыдущие методы.
Вопросы для самоконтроля
1. Сформулируйте постановку задачи об аппроксимации функции.
2. В чем состоит отличие интерполяции функции от экстраполяции?
3. Составьте программу реализации алгоритма линейной интерполяции на языке Turbo Pascal.
Тема 2. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Численное интегрирование. Метод прямоугольников. Метод трапеций. Метод Симпсона.
Литература: [1]; [2], [5].
Методические указания
При вычислении определенного интеграла часто не удается воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница [5], которая состоит в том, что определенный интеграл равен приращению первообразной на отрезке интегрирования. Это обусловлено двумя основными причинами: 1) вид функции не допускает непосредственного интегрирования; 2) функция задана в виде таблицы. Кроме того, при необходимости вычисления определенного интеграла внутри какой-либо программы для различных подынтегральных функций, потребовалось бы создание базы данных табличных интегралов. В этих случаях используют методы численного интегрирования. Они основаны на интерполяции подынтегральной функции некоторыми более простыми многочленами.
Изучение темы необходимо начать с наиболее простого в реализации метода прямоугольников, который состоит в вычислении интегральной суммы. При этом площадь фигуры, ограниченной подынтегральной функцией, складывается из площадей элементарных прямоугольников. Недостатком метода является большое количество итераций для достижения заданной точности вычислений. Более высоким быстродействием обладает метод трапеций, основанный на линейной интерполяции. В этом случае площадь всей фигуры складывается из площадей элементарных трапеций. Изучив алгоритм метода трапеций, можно перейти к наиболее эффективному методу Симпсона, который основан на квадратичной интерполяции, т.е. на каждом отрезке подынтегральная функция заменяется многочленом второй степени.
Следует уяснить, что при одинаковом количестве участков разбиения интервала интегрирования точность метода Симпсона является самой высокой, а самую низкую точность имеет метод прямоугольников.
Вопросы для самоконтроля
1. Что такое интегральная сумма?
2. В чем состоит геометрический смысл вычисления определенного интеграла?
3. Чем отличается методы правых, левых и серединных прямоугольников?
4. Запишите формулу трапеций для вычисления определенного интеграла.
5. Нарисуйте блок-схему метода Симпсона.
Тема 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
О методах решения алгебраических уравнений. Действительные и комплексные корни. Уравнения с одним неизвестным. Метод деления отрезка пополам. Метод хорд. Метод Ньютона.
Литература: [1]; [2], [4], [5].
Методические указания
Во многих задачах механики и техники необходимо находить корни нелинейных уравнений. Нелинейные уравнения делятся на алгебраические и трансцендентные. Большинство трансцендентных уравнений не решаются путем аналитических преобразований (точными методами), поэтому для нахождения их корней применяют численные методы. Задача численного решения уравнения состоит из двух этапов: 1. отделение корней, т.е. отыскание приближенных значений корней или содержащих их отрезков; 2. уточнение корней, т.е. вычисление корней с заданной степенью точности.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.