Студент должен изучать тему в соответствии с изложенными этапами. Изучение методов уточнения корней следует начать с метода дихотомии (половинного деления), который наиболее просто реализуются на ЭВМ и всегда сходится, т.е. при его использовании решение получается всегда, причем с заданной точностью; однако метод дихотомии является довольно медленным. Далее необходимо ознакомиться с методом хорд, который в ряде случаев дает более высокую сходимость. При этом успех его применения, как и в методе дихотомии, гарантирован. После чего следует перейти к изучению метода Ньютона, который, несмотря на больший объем вычислений, имеет скорость сходимости значительно выше, чем в других методах. Однако трудность в применении метода Ньютона состоит в выборе начального приближения, которое должно находиться вблизи корня.
Вопросы для самоконтроля
1. Прямые методы решения нелинейных уравнений.
2. Алгоритм нахождения корня с помощью итерационного метода.
3. Нарисуйте блок-схему метода дихотомии.
4. Запишите формулу определения нового приближения методом хорд.
5. Нарисуйте блок-схему метода Ньютона (касательных).
Тема 4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Основные понятия. Линейные системы и методы решения. Прямые методы. Метод Гаусса. Итерационные методы. Уточнения решений. Метод Гаусса – Зейделя.
Литература: [2]; [4], [5].
Методические указания
К решению систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) сводятся многочисленные практические задачи. Методы решения СЛАУ делятся на прямые и итерационные. Прямые методы дают решение системы за конечное число арифметических операций. Они применяются для решения сравнительно небольших систем, состоящих из менее ста уравнений, с не близким к нулю определителем. Итерационные методы дают решение системы как предел последовательных приближений к начальным приближенным решениям. По сравнению с прямыми методами они используют более сложные алгоритмы; объем вычислений заранее определить трудно, однако позволяют решать системы с большим числом уравнений.
При изучении темы особое внимание следует уделить изучению наиболее распространенного среди прямых методов – метода Гаусса, имеющего широкую область применения при решении инженерных задач, так как в инженерной практике редко встречаются СЛАУ с размерностью, превышающей сто уравнений. Студент должен разобраться в алгоритме метода, состоящего из двух этапов: прямого хода, включающего преобразование матрицы системы к треугольному виду, и обратного хода, где непосредственно определяются неизвестные системы. Уяснив алгоритм метода, целесообразно ознакомиться с модификацией метода Гаусса, включающую схему с выбором главного элемента, который способствует снижению погрешности вычислений.
После изучения прямых методов необходимо перейти к ознакомлению с итерационными методами. Следует понять, что последние могут использоваться для уточнения решений, полученных с помощью прямых методов. Рекомендуется изучить метод Гаусса-Зейделя, который является одним из самых распространенных итерационных методов и отличается простотой и легкостью программирования.
Вопросы для самоконтроля
1. Запишите систему уравнений в матричном виде.
2. Нарисуйте блок-схему метода Гаусса.
3. Суть метода Гаусса с выбором главного элемента.
4. Нарисуйте блок-схему метода Гаусса-Зейделя.
Тема 5. СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Основные понятия. Нелинейные системы и методы решения. Метод простой итерации. Метод Ньютона.
Литература: [2]; [3], [5].
Методические указания
Многие практические задачи сводятся к решению системы нелинейных уравнений. В отличие от СЛАУ не существует прямых методов решения нелинейных систем общего вида, поэтому для нахождения неизвестных обычно используют итерационные методы. Изучение темы следует начать с изучения метода простой итерации, алгоритм которого напоминает метод Гаусса-Зейделя, изученного в предыдущем разделе. Следует запомнить, что при использовании метода простой итерации успех во многом определяется удачным выбором начальных приближений неизвестных: они должны быть достаточно близкими к истинному решению. В противном случае итерационный процесс может не сойтись.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.