Собственные векторы и собственные числа линейного преобразования. Билинейные и квадратичные формы

4. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА

ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Определение. Если линейное отображение отображает пространство само в себя, то оно называется линейным преобразованием, т.е. здесь

       .

Все утверждения и теоремы раздела 3 справедливы и для преобразований линейного пространства, но в общем случае при определении матрицы линейного отображения  выбирались разные базисы в пространствах  и . Если же  и  совпадают, то логично пользоваться одним и тем же базисом и для образов, и для прообразов, следовательно, некоторые определения и формулы изменятся.

Определение. Матрицей линейного преобразования  в базисе  называется матрица, столбцы которой есть координаты векторов  в базисе е(координаты образов базисных векторов в том же базисе).

Матрица линейного преобразования квадратная порядка п.

В соответствии с определением, при переходе от базиса е к базису е'матрица преобразования  будет иметь вид

                                                         (4.1)

(см. формулу (3.5)) ,  где теперь ).

Линейные преобразования обладают рядом специфических свойств, которые для отображений общего вида, вообще говоря, не справедливы. Это связано с тем, что образы и прообразы векторов лежат в одном пространстве, и мы получаем возможность говорить об их взаимном расположении.

Определение. Ненулевой вектор  называется собственнымвектором преобразования , если , при этом число  называется собственным значением (собственным числом), соответствующим собственному вектору .

Если в  выбран базис, то

.

Пусть Е – единичная матрица порядка п, тогда последнее равенство можно записать в виде

или

.                                                   (4.2)

В координатах это равенство выглядит так

– однородная система линейных уравнений порядка n.

Если , то система имеет единственное решение

, но собственным вектором мы назвали ненулевой вектор, следовательно, для существования такого вектора необходимо потребовать, чтобы

.                                                     (4.3)

Это уравнение называется характеристическим уравнением.

Левая часть равенства (4.3) – многочлен степени п, который называется характеристическим многочленом преобразования :

Теорема 4.1. Если  и  – матрицы преобразования  в разных базисах, то характеристические многочлены этих матриц совпадают (собственные числа преобразования  в разных базисах одинаковы, т.е. не зависят от выбора базиса!).

Доказательство.

Если  и  - два базиса в  и  матрица перехода от  к , то по формуле (4.1)

,

т.е. характеристические многочлены матриц  и  совпадают, следовательно, собственные числа одинаковы.

Теорема 4.2. Если собственные векторы  преобразования  соответствуют различным собственным значениям, то они линейно независимы.

Доказательство.

1) ,  – два собственных вектора, соответствующие собственным числам , , .

Составим линейную комбинацию этих векторов и приравняем её к  

.                                                        (*)

Применим преобразование  к обеим частям этого равенства. Получим

,   ,   .

Умножим (*) на :   .

Вычитая из одного равенства другое, получим , так как  по условию, а  по определению, то .

Подставляем в (*) , получаем , так как по определению , следовательно , т.е. линейная комбинация должна быть тривиальной, что равносильно тому, что векторы ,  – линейно независимы.

2) Пусть утверждение справедливо для  векторов, покажем, что тогда оно справедливо и для  векторов.

Пусть система векторов  удовлетворяет условию теоремы. Рассмотрим равную нулю линейную комбинацию этих векторов

 .                                                   (**)

Подействуем преобразованием  на это равенство, получим

.

Умножим (**) на :

.

Вычитая эти два равенства, находим

, так как  – линейно независимы, это значит, что в левой части равенства записана тривиальная линейная комбинация, т.е.

, по условию теоремы , , …, , следовательно,

.

Подставим  в (**), получим , следовательно, , так как по определению .

Таким образом,  – линейно независимы.

Следствие 4.1. Если преобразование  имеет п попарно различных собственных значений, то существует базис из собственных векторов этого преобразования!

Теорема 4.3. Матрица линейного преобразования  в базисе е имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда все векторы базиса являются собственными векторами преобразования .

Другая формулировка следствия 4.1. Если все корни характеристического многочлена матрицы Аразличны, то существует невырожденная матрица Т() такая, что матрица  – диагональная (Т – матрица перехода к базису из собственных векторов).

5. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

5.1. Определение и основные свойства

Определение. Линейное пространство  называется евклидовым, если в нем определена операция скалярного умножения, сопоставляющая любым двум векторам  и  число, обозначаемое , и обладающая свойствами:

1)   ;

2)   ;

3)   ;

4)   , если ;

5)    если .

Евклидово пространство размерности побозначается .

Определение. Длиной или модулем вектора называется число . Обозначается , т.е. по определению .

Определение. Углом между векторами  называется число, определяемое из равенства