Собственные векторы и собственные числа линейного преобразования. Билинейные и квадратичные формы, страница 8

Очевидно, что , так как ранг квадратичной формы по определению равен рангу её матрицы в произвольном базисе, то из (7.11) и условия :   следует, что ранг квадратичной формы равен  (числу ненулевых канонических коэффициентов): , так как .

Таким образом, число отличных от нуля канонических коэффициентов равно рангу квадратичной формы.

Из этого замечания следует, что число отличных от нуля канонических коэффициентов не зависит от выбора невырожденного преобразования, с помощью которого она приводится к каноническому виду.

Более того, при любом способе приведения к каноническому виду сохраняется число положительных и отрицательных канонических коэффициентов (закон инерции квадратичных форм).

Пусть с помощью какого-либо невырожденного преобразования квадратичная форма (7.10) приведена к виду (7.11), причём отличные от нуля коэффициенты занумерованы так, что первые  из них положительны, а остальные  отрицательны, т.е.

.

Рассмотрим ещё одно невырожденное преобразование координат (базиса) вида

,  , …,  ,  ,… ,  , ,…, , что равносильно записи , где

.

(легко видеть, что определитель этой матрицы отличен от нуля).

В результате этого преобразования квадратичная форма (7.10) примет вид

                                        (7.12)

который называется нормальным каноническим видом квадратичной формы.

Теорема 7.6. (Закон инерции квадратичных форм).

Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами в нормальном каноническом виде квадратичной формы не зависит от способа приведения квадратичной формы к этому виду.

Доказательство. Пусть квадратичная форма  ранга  двумя способами приведена к нормальному виду и число положительных и отрицательных слагаемых в них различно, т.е.

                     (*)

причём , а ,  – координатные столбцы вектора  в канонических базисах , .

Так как переход от переменных  к переменным  был невырожденным линейным преобразованием, то и  будут выражаться через  с помощью невырожденного линейного преобразования, т.е. ,      и, следовательно,

,                                                       (**)

где  – элементы обратной матрицы .

Аналогично: ,   и  )

,                                                       (***)

где  – элементы обратной матрицы .

Пусть, для определённости , случай, когда  рассматривается аналогично. Запишем систему равенств

;                   (****)

Если левые части этих равенств будут заменены их выражениями (**) и (***) через , то мы получим систему  линейных однородных уравнений с  неизвестными .

Число уравнений в этой системе меньше числа неизвестных (так как ), поэтому система имеет нетривиальное решение (см. системы линейных уравнений) :   .

Заменим теперь в равенстве (*) все ,  их выражениями из (**) и (***), тогда получим:

или

, где символами  и  обозначены значения неизвестных , , получающиеся при подстановке в (**), (***) вместо  решение .

Из последнего равенства следует, что

,   , так как левая часть меньше либо равна 0, а правая часть больше либо равна 0.

С другой стороны, по самому выбору  (см. (****)) ,  .

Таким образом, система  линейных однородных уравнений , (), которая равносильна системе   с  неизвестными , имеет нетривиальное решение : , следовательно определитель матрицы системы равен 0 (см. системы линейных уравнений) , а это противоречит тому, что преобразование (***) невырожденное, т.е.  быть не может.

К такому же противоречию мы придём и при .

Отсюда следует, что . Теорема доказана.

Числа  и  называются положительным и отрицательным индексами инерции квадратичной формы.

Пусть отрицательный индекс инерции равен , т.е.

.

Теорема 7.7. (Необходимое и достаточное условие знакоопределённости квадратичной формы).

Квадратичная форма  является знакоопределённой тогда, когда - либо , либо .

При этом, если , то форма положительно определённая, если , то форма отрицательно определённая.