где Т матрица перехода от базиса е к базису f .
Доказательство.
Так как Т – матрица перехода от е к f, то ,
, где
– координатные столбцы вектора
в базисах е и f соответственно,
, то по формуле (7.2) получаем
:
;
с другой стороны , следовательно,
,
так как
– произвольные, то выражение, стоящее в
скобках должно быть равно нулю
.
Следствие. Ранг матрицы равен рангу матрицы
. Это сразу вытекает из равенства
(7.3) и из того, что ранг матрицы не изменяется при умножении на невырожденную
матрицу.
Это позволяет ввести понятие ранга билинейной формы.
Определение. Рангом билинейной формы называется ранг матрицы этой формы в произвольном базисе.
Определение. Билинейная форма , заданная в
, называется невырожденной
(вырожденной), если ее ранг равен (меньше) размерности пространства
, т.е.
форма
невырожденная;
форма
вырожденная.
Пусть
- симметричная билинейная форма,
заданная на линейном пространстве
.
Определение.
Квадратичной формой называется числовая функция одного аргумента
, значения которой совпадают со значениями
билинейной формы
при
.
При
этом симметричная билинейная форма называется
полярной к квадратичной форме
.
Пусть
в задана симметричная билинейная форма
в базисе
.
По формуле (7.1)
, при этом в силу
симметрии
. Полагая в этом равенстве
получаем
(7.4)
представление
квадратичной формы в заданном базисе е.
Матрицу
из коэффициентов обозначим
и назовем матрицей квадратичной
формы.
Матрица квадратичной формы при переходе к новому базису преобразуется по формуле (7.3), т.е.
(7.5)
где Т – матрица перехода к новому базису.
Так как матрица перехода всегда невырожденная, то ранг матрицы квадратичной формы не изменяется при переходе к новому базису.
Определение. Ранг матрицы квадратичной формы в произвольном базисе называется рангом квадратичной формы.
Если ранг квадратичной формы равен размерности пространства, то квадратичная форма называется невырожденной, в противном случае вырожденной.
Рассмотрим
вопрос о приведении квадратичной формы к сумме квадратов, к так называемому каноническому
виду, т.е. о выборе такого базиса в
, в котором квадратичная форма (7.4.) представляется
в виде
(7.6)
где –
координаты вектора
в базисе f .
Коэффициенты
называются каноническими коэффициентами
квадратичной формы, а базис
– каноническим базисом.
Метод Якоби
Пусть
– какой-либо базис в
,
–
базис, в котором квадратичная форма
имеет канонический вид
(канонический базис).
Рассмотрим преобразование вида
, (7.7)
которое
называется треугольным, так как , где
верхняя треугольная матрица
.
Замечание.
Так как определитель матрицы треугольного преобразования (7.7) отличен от нуля
(), то векторы
образуют
базис.
Введем
в рассмотрение главные миноры матрицы квадратичной
формы
в базисе
,
обозначив их символами
:
,
,
, …
,
,
где
.
Теорема 7.4. Пусть :
, тогда существует единственное
треугольное преобразование базиса
,
с помощью которого квадратичную форму
можно
привести к каноническому виду.
Доказательство.
Коэффициенты квадратичной формы в базисе
вычисляются по формуле
, где
–
полярная билинейная форма.
Если
квадратичная форма в базисе
имеет
канонический вид то
:
,
поэтому для доказательства теоремы достаточно с помощью треугольного
преобразования базиса
построить базис
, в котором будут выполняться соотношения:
:
,
(или, что тоже самое,
при , так как
–
симметричная).
Ввиду
линейности билинейной формы по каждому из
аргументов, эти равенства будут выполняться, если будут выполнены равенства:
(
;
) (*)
Действительно, используя линейность по первому аргументу, можем записать
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.