Пусть функция определена
на отрезке
. Разобьем этот отрезок на
частей точками
.
На каждом из частичных отрезков возьмем произвольную точку
и составим сумму
, которая называется интегральной суммой функции
на отрезке
.
Предел интегральной суммы при условии, что число
частичных отрезков неограниченно увеличивается, а длина наибольшего из них
стремиться к нулю, называется определенным интегралом функции в пределах от
до
и обозначается
(3.1)
Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке, т.е.
предел (3.1) существует и не зависит от способа разбиения промежутка интегрирования
на частичные отрезки и от выбора точек
при каждом таком разбиении.
Основные свойства определенного интеграла
1о. .
2о.
где и
– постоянные.
3о. ,
где – некоторая точка,
лежащая внутри или вне отрезка
.
Если функция непрерывна
на отрезке
и для нее известен неопределенный интеграл
, где
– какая
либо первообразная функции
, то определенный
интеграл может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница
,
(3.2)
т.е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
При вычислениях формулу (3.2) обычно записывают в виде
, где символ в правой части равенства –
"подстановка от
до
" –
обозначает ту же самую разность
.
Пример 3.1.
Вычислить интеграл .
Решение.
.
Часто для вычисления интеграла полезно
заменить переменную интегрирования
новой переменной
при помощи подстановки
или
. При
этом необходимо перейти от старых пределов интегрирования
и
к новым
пределам
и
которые
определяют из уравнений
,
или
Замена переменной осуществляется по формуле
(3.3)
Эта формула справедлива, если –
непрерывная функция, а функция
сама непрерывна и имеет
непрерывную производную на отрезке
.
При вычислении определенного интеграла методом замены переменной возврат к старой переменной не требуется.
Пример 3.2.
Вычислить интеграл .
Решение.
Положим , тогда
. Такая
подстановка возможна (так как при любом значении
под
корнем получается неотрицательная величина) и приводит к тому, что корень под
знаком интеграла исчезает. При этом изменению переменной
от
до
соответствует изменение переменной
от
до
. Применяя формулу (3.3) получаем
.
Пример 3.3.
Вычислить интеграл .
Решение.
Положим , тогда ex – 1 = t2, ex =
t2 + 1, дифференцируем
обе части равенства: exdx = 2tdt,
откуда
.
При x = 0: ;
при x = ln2: , поэтому
Если функции v(x) и u(x)обладают непрерывными производными на отрезке [a, b], то справедлива формула интегрирования по частям для определенного интеграла
(3.4)
Пример 3.4.
Вычислить интеграл .
Решение.
.
Пример 3.5. Вычислить
интеграл .
Решение.
.
![]() |
.
В более общем случае, если криволинейная трапеция ограничена и сверху и снизу непрерывными кривыми (рис. 3.2), уравнения которых
, то
рассматривая криволинейную трапецию CDEF как разность двух фигур ADEB
и ACFB получим формулу
.
Если линия задана параметрическими уравнениями , то формула будет иметь вид
, где
– значения, между которыми изменяется
параметр t, когда точка пробегает слева направо всю линию,
ограничивающую трапецию сверху.
![]() |
.
Пример 3.6. Вычислить
площадь фигуры, заключенной между кривой , осью Ox
и прямой
.
Решение. Построим данную криволинейную трапецию (рис. 3.4) и вычислим ее площадь
.
Пример 3.7. Вычислить
площадь фигуры, ограниченной параболами .
Решение. Решая систему уравнений
, находим
абсциссы точек пересечения парабол
и значит
.
Пример 3.8. Вычислить
площадь эллипса .
Решение. Здесь удобнее записать параметрические уравнения эллипса, которые
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.