Пусть функция определена на отрезке . Разобьем этот отрезок на частей точками .
На каждом из частичных отрезков возьмем произвольную точку и составим сумму
, которая называется интегральной суммой функции на отрезке .
Предел интегральной суммы при условии, что число частичных отрезков неограниченно увеличивается, а длина наибольшего из них стремиться к нулю, называется определенным интегралом функции в пределах от до и обозначается
(3.1)
Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке, т.е. предел (3.1) существует и не зависит от способа разбиения промежутка интегрирования на частичные отрезки и от выбора точек при каждом таком разбиении.
Основные свойства определенного интеграла
1о. .
2о.
где и – постоянные.
3о. ,
где – некоторая точка, лежащая внутри или вне отрезка .
Если функция непрерывна на отрезке и для нее известен неопределенный интеграл , где – какая либо первообразная функции , то определенный интеграл может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница
, (3.2)
т.е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
При вычислениях формулу (3.2) обычно записывают в виде
, где символ в правой части равенства – "подстановка от до " – обозначает ту же самую разность .
Пример 3.1. Вычислить интеграл .
Решение.
.
Часто для вычисления интеграла полезно заменить переменную интегрирования новой переменной при помощи подстановки или . При этом необходимо перейти от старых пределов интегрирования и к новым пределам и которые определяют из уравнений , или
Замена переменной осуществляется по формуле
(3.3)
Эта формула справедлива, если – непрерывная функция, а функция сама непрерывна и имеет непрерывную производную на отрезке .
При вычислении определенного интеграла методом замены переменной возврат к старой переменной не требуется.
Пример 3.2. Вычислить интеграл .
Решение. Положим , тогда . Такая подстановка возможна (так как при любом значении под корнем получается неотрицательная величина) и приводит к тому, что корень под знаком интеграла исчезает. При этом изменению переменной от до соответствует изменение переменной от до . Применяя формулу (3.3) получаем
.
Пример 3.3. Вычислить интеграл .
Решение. Положим , тогда ex – 1 = t2, ex = t2 + 1, дифференцируем обе части равенства: exdx = 2tdt, откуда .
При x = 0: ;
при x = ln2: , поэтому
Если функции v(x) и u(x)обладают непрерывными производными на отрезке [a, b], то справедлива формула интегрирования по частям для определенного интеграла
(3.4)
Пример 3.4. Вычислить интеграл .
Решение.
.
Пример 3.5. Вычислить интеграл .
Решение.
.
.
В более общем случае, если криволинейная трапеция ограничена и сверху и снизу непрерывными кривыми (рис. 3.2), уравнения которых
, то рассматривая криволинейную трапецию CDEF как разность двух фигур ADEB и ACFB получим формулу
.
Если линия задана параметрическими уравнениями , то формула будет иметь вид
, где – значения, между которыми изменяется параметр t, когда точка пробегает слева направо всю линию, ограничивающую трапецию сверху.
.
Пример 3.6. Вычислить площадь фигуры, заключенной между кривой , осью Ox и прямой .
Решение. Построим данную криволинейную трапецию (рис. 3.4) и вычислим ее площадь
.
Пример 3.7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами .
Решение. Решая систему уравнений
, находим абсциссы точек пересечения парабол и значит
.
Пример 3.8. Вычислить площадь эллипса .
Решение. Здесь удобнее записать параметрические уравнения эллипса, которые
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.