Определение. Пусть дана бесконечная числовая последовательность Выражение вида:
(2.1)
называется числовым рядом. Числа называются членами ряда (2.1), член an называют общим членом ряда ().
Сокращённое обозначение ряда (2.1): .
Определение. Сумма n первых членов ряда называется n-й частичной суммой рядаи обозначается: , т.е. .
Рассмотрим последовательность частичных сумм:
, , , …, , …
Определение. Если существует конечный предел последовательности частичных сумм : , то ряд (2.1) называют сходящимся, а число S называют суммой ряда (2.1). В этом случае пишут: . Если последовательность не имеет конечного предела, то ряд (2.1) называют расходящимся.
Пример 1. Доказать, что ряд сходится.
Решение. Возьмём сумму первых n членов ряда:
.
Слагаемые этой суммы могут быть представлены в виде:
, , , …, .
Поэтому
.
Отсюда следует, что предел последовательности частичных сумм данного ряда равен единице: .
Таким образом, ряд сходится и его сумма S = 1.
Пример 2. Исследовать ряд на сходимость:
Решение. Последовательность частичных сумм ряда имеет вид: , … и, значит, не сходится ни к какому пределу, поэтому данный ряд расходится.
Пример 3. Исследовать на сходимость ряд, составленный из членов геометрической прогрессии (а – первый член геометрической прогрессии, q – знаменатель прогрессии):
. (2.2)
Решение. Частичная сумма этого ряда при имеет вид:
, здесь использована формула суммы первых членов геометрической прогрессии.
Отсюда:
1) если , то , т.е. ряд сходится и его сумма: . Например, при а = 1, имеем:
;
2) если , то
, т.е. ряд расходится;
3)
|
4) при ряд (2.2) принимает вид: Его частичные суммы при n чётном и при n нечётном. Следовательно, не существует и ряд расходится. Таким образом, ряд (2.2) является сходящимся при и расходящимся при .
Определение. Если в выражении (2.1) отбросить n первых членов, то оставшийся ряд
называют n-м остатком ряда (2.1) и обозначают .
Если (2.1) сходится, то .
Сходимость или расходимость числового ряда не нарушается, если в нём отбросить любое конечное число членов. Но его сумма, если она существует, при этом изменяется.
Свойства сходящихся рядов:
1) если ряд сходится и его сумма равна S, то и ряд , где с – некоторое действительное число, также сходится, и его сумма равна ;
2) если ряды и сходятся и их суммы соответственно равны SI и SII, то и ряд сходится и его сумма равна: SI ± SII.
В приложениях применяются только сходящиеся ряды, поэтому по данному ряду необходимо, прежде всего, определить, является ли он сходящимся. Исследование сходимости рядов проводится с помощью теорем, называемых признаками сходимости.
Теорема 2.1 (необходимый признак сходимости ряда). Если числовой ряд сходится, то .
Доказательство. Пусть ряд сходится, т.е. имеет место равенство: , где S – сумма ряда; но тогда имеет место также равенство . Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем:
, .
Но . Следовательно, , что и требовалось доказать.
Заметим, что этот признак сходимости не является достаточным. Если , то ряд может быть сходящимся или может быть расходящимся. Так, для ряда из примера 3 предел общего члена ряда равен: , и этот ряд сходится.
Определение. Ряд
(2.3)
называется гармоническим рядом.
Гармонический ряд (2.3) является расходящимся (как будет показано в разд. 2.2, пример 5), хотя . Таким образом, если (т.е. если общий член ряда стремится к нулю), то ещё нельзя сделать вывод о сходимости ряда. Необходимо дополнительное исследование, которое может быть проведено с помощью достаточных условий (признаков) сходимости ряда. Кроме того, из теоремы 2.1 можно сделать вывод о достаточном признаке расходимости ряда.
Теорема 2.2 (достаточный признак расходимости ряда).Если , то ряд расходится.
Пример 4. Исследовать на сходимость ряд: .
Решение. Запишем общий член данного ряда . Тогда
, т.е. ряд расходится.
Теорема 2.3 (признак сравнения). Пусть даны два ряда с положительными членами
, (*)
, (**)
и для всех выполняются неравенства
, (***)
тогда: 1) из сходимости ряда (**) следует сходимость ряда (*);
2) из расходимости ряда (*) следует расходимость ряда (**).
Доказательство
1) Обозначим через и соответственно частичную сумму первого и второго рядов, т.е. , . Из условия (2.6) следует, что . Так как ряд (**) сходится, то существует предел его частичных сумм:
.
Из того, что члены рядов (*) и (**) положительны, следует, что , и тогда в силу неравенства получаем: . Таким образом, мы доказали, что частичные суммы ограниченны. Кроме того, при увеличении частичная сумма возрастает. А из того, что последовательность частичных сумм возрастает и ограничена, следует, что она имеет предел: , причём .
2) Пусть ряд (*) расходится. Так как члены этого ряда положительны, то его частичная сумма возрастает с возрастанием , и . Тогда в силу неравенства , получаем: , т.е. ряд (**) расходится.
В качестве ряда для сравнения необходимо выбрать такой ряд, о котором заранее известно, является ли он сходящимся или расходящимся. Примерами таких рядов являются: ряд, представляющий сумму членов геометрической прогрессии (см. разд. 2.1, пример 3), а также гармонический (расходящийся) ряд.
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд:
Решение. Для того чтобы установить сходимость ряда, воспользуемся неравенством и сравним данный ряд с рядом . Ряд: представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем . Так как , то ряд – сходится. Согласно признаку сравнения (см. теорему 2.3), ряд также сходится.
Чаще на практике бывает удобнее использовать признак сравнения в другой форме.
Теорема 2.4 (предельный признак сравнения).Два ряда и с положительными членами одновременно сходятся или одновременно расходятся, если существует конечный предел: и .
Пример 2. Исследовать ряд: на сходимость.
Решение. Общий член данного ряда . Сравним ряд с расходящимся гармоническим рядом: , общий член которого . Далее, воспользуемся предельным признаком сравнения (см. теорему 2.4):
.
Отсюда следует, что ряды: и одновременно расходятся, т.е. ряд – расходящийся.
Теорема 2.5 (признак Даламбера).Если все члены ряда положительны и
, (2.4)
то при ряд сходится, при ряд расходится (при ответа о сходимости ряда теорема не даёт).
Доказательство
1) Пусть и . Докажем, что ряд сходится. По определению предела числовой последовательности для любого существует номер , такой, что при выполняется неравенство: .
Отсюда следует, что или
. (*)
Так как , то можно взять настолько малым, что будет выполняться неравенство: . Полагая , где , на основании правого из неравенств (*) имеем:
или для
Придавая значения из последнего неравенства получаем:
т.е. члены ряда
(**)
меньше соответствующих членов ряда, составленного из членов геометрической прогрессии
(***)
Так как , то ряд (***) сходится (см. разд. 2.1, пример 2.3). Тогда согласно признаку сравнения ряд (**) также сходится. Но ряд (**) получен из данного ряда в результате отбрасывания конечного числа первых членов, следовательно, ряд сходится.
2) Пусть . Докажем, что ряд расходится. Возьмём настолько малым, чтобы . Тогда при в силу левого из неравенств (*) выполняется неравенство: или . Таким образом, члены ряда, начиная с некоторого номера , возрастают с увеличением их номеров, т.е. общий член ряда не стремится к нулю при . Следовательно, согласно теореме 2.2 ряд расходится.
Замечание. Как показывают примеры, при ряд может как сходиться, так и расходиться. В этом случае необходимо дополнительное исследование ряда с помощью признака сравнения или других признаков.
Пример 3. Исследовать ряд на сходимость.
Решение. Так как , , то
следовательно, ряд сходится.
Теорема 2.6 (радикальный признак Коши). Если все члены ряда положительны и
(2.5)
то при ряд сходится, при ряд расходится (при теорема ответа
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.