Числовые ряды. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды

Страницы работы

Фрагмент текста работы

2. Числовые ряды

2.1. Понятие числового ряда

Определение. Пусть дана бесконечная числовая последовательность   Выражение вида:

                                               (2.1)

называется числовым рядом. Числа  называются членами ряда (2.1), член an называют общим членом ряда ().

Сокращённое обозначение ряда (2.1):  .

Определение. Сумма n первых членов ряда называется n-й частичной суммой рядаи обозначается: , т.е.  .

Рассмотрим последовательность частичных сумм:

,   ,   ,   …,   ,   …

Определение. Если существует конечный предел  последовательности частичных сумм , то ряд (2.1) называют сходящимся, а число S называют суммой ряда (2.1). В этом случае пишут: . Если последовательность  не имеет конечного предела, то ряд (2.1) называют расходящимся.

Пример 1. Доказать, что ряд  сходится.

Решение. Возьмём сумму  первых n членов ряда:

.

Слагаемые этой суммы могут быть представлены в виде:

,   ,   ,   …,   .

Поэтому

.

Отсюда следует, что предел последовательности частичных сумм данного ряда равен единице: .

Таким образом, ряд  сходится и его сумма S = 1.

Пример 2. Исследовать ряд на сходимость:

Решение. Последовательность частичных сумм ряда имеет вид:   ,  … и, значит, не сходится ни к какому пределу, поэтому данный ряд расходится.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд, составленный из членов геометрической прогрессии (а – первый член геометрической прогрессии, q – знаменатель прогрессии):

                                            .                               (2.2)

Решение. Частичная сумма этого ряда при  имеет вид:

, здесь использована формула суммы первых  членов геометрической прогрессии.

Отсюда:

1)  если , то , т.е. ряд сходится и его сумма: . Например, при а = 1,  имеем:

;

2)  если , то

, т.е. ряд расходится;

3) 

раз

 
при  ряд (2.2) принимает вид:  . В этом случае , т.е. ряд расходится;

4)  при  ряд (2.2) принимает вид:  Его частичные суммы  при n чётном и  при n нечётном. Следовательно,  не существует и ряд расходится. Таким образом, ряд (2.2) является сходящимся при  и расходящимся при .

Определение. Если в выражении (2.1) отбросить n первых членов, то оставшийся ряд

называют n-м остатком ряда (2.1) и обозначают .

Если (2.1) сходится, то .

Сходимость или расходимость числового ряда не нарушается, если в нём отбросить любое конечное число членов. Но его сумма, если она существует, при этом изменяется.

Свойства сходящихся рядов:

1)  если ряд  сходится и его сумма равна S, то и ряд , где с – некоторое действительное число, также сходится, и его сумма равна ;

2)  если ряды  и  сходятся и их суммы соответственно равны SI и SII, то и ряд  сходится и его сумма равна: SI ± SII.

В приложениях применяются только сходящиеся ряды, поэтому по данному ряду необходимо, прежде всего, определить, является ли он сходящимся. Исследование сходимости рядов проводится с помощью теорем, называемых признаками сходимости.

Теорема 2.1 (необходимый признак сходимости ряда). Если числовой ряд  сходится, то .

Доказательство. Пусть ряд  сходится, т.е. имеет место равенство: , где S – сумма ряда; но тогда имеет место также равенство . Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем:

,    .

Но . Следовательно, , что и требовалось доказать.

Заметим, что этот признак сходимости не является достаточным. Если , то ряд может быть сходящимся или может быть расходящимся. Так, для ряда  из примера 3 предел общего члена ряда равен: , и этот ряд сходится.

Определение. Ряд

                                           (2.3)

называется гармоническим рядом.

Гармонический ряд (2.3) является расходящимся (как будет показано в разд. 2.2, пример 5), хотя . Таким образом, если  (т.е. если общий член ряда стремится к нулю), то ещё нельзя сделать вывод о сходимости ряда. Необходимо дополнительное исследование, которое может быть проведено с помощью достаточных условий (признаков) сходимости ряда. Кроме того, из теоремы 2.1 можно сделать вывод о достаточном признаке расходимости ряда.

Теорема 2.2 (достаточный признак расходимости ряда).Если , то ряд  расходится.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд: .

Решение. Запишем общий член данного ряда . Тогда

, т.е. ряд расходится.

2.2. Достаточные признаки сходимости рядов
с положительными членами

Теорема 2.3 (признак сравнения). Пусть даны два ряда с положительными членами

,                                          (*)

,                                           (**)

и для всех  выполняются неравенства

,                                                         (***)

тогда:  1) из сходимости ряда (**) следует сходимость ряда (*);

2) из расходимости ряда (*) следует расходимость ряда (**).

Доказательство

1) Обозначим через  и  соответственно частичную сумму первого и второго рядов, т.е. ,    .  Из условия (2.6) следует, что . Так как ряд (**) сходится, то существует предел  его частичных сумм:

.

Из того, что члены рядов (*) и (**) положительны, следует, что , и тогда в силу неравенства  получаем:  . Таким образом, мы доказали, что частичные суммы  ограниченны. Кроме того, при увеличении  частичная сумма  возрастает. А из того, что последовательность частичных сумм возрастает и ограничена, следует, что она имеет предел: , причём   .

2) Пусть ряд (*) расходится. Так как члены этого ряда положительны, то его частичная сумма  возрастает с возрастанием , и  . Тогда в силу неравенства , получаем: , т.е. ряд (**) расходится.

В качестве ряда для сравнения необходимо выбрать такой ряд, о котором заранее известно, является ли он сходящимся или расходящимся. Примерами таких рядов являются: ряд, представляющий сумму членов геометрической прогрессии  (см.  разд. 2.1, пример 3), а также гармонический (расходящийся) ряд.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд:

Решение. Для того чтобы установить сходимость ряда, воспользуемся неравенством   и сравним данный ряд с рядом . Ряд:  представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом  и знаменателем . Так как , то ряд  – сходится. Согласно признаку сравнения (см. теорему 2.3), ряд  также сходится.

Чаще на практике бывает удобнее использовать признак сравнения в другой форме.

Теорема 2.4 (предельный признак сравнения).Два ряда  и  с положительными членами одновременно сходятся или одновременно расходятся, если существует конечный предел:  и .

Пример 2. Исследовать ряд:  на сходимость.

Решение. Общий член данного ряда . Сравним ряд с расходящимся гармоническим рядом: , общий член которого .  Далее, воспользуемся предельным признаком сравнения (см. теорему 2.4):

.

Отсюда следует, что ряды:  и  одновременно расходятся, т.е. ряд  – расходящийся.

Теорема 2.5 (признак Даламбера).Если все члены ряда  положительны и

,                                                        (2.4)

то при  ряд сходится, при  ряд расходится (при  ответа о сходимости ряда теорема не даёт).

Доказательство

1) Пусть  и . Докажем, что ряд  сходится. По определению предела числовой последовательности для любого  существует номер , такой, что при выполняется неравенство: .

Отсюда следует, что    или

.                                                   (*)

Так как , то  можно взять настолько малым, что будет выполняться неравенство: . Полагая , где , на основании правого из неравенств (*) имеем:

 или  для

Придавая  значения  из последнего неравенства получаем:

т.е. члены ряда

                                                 (**)

меньше соответствующих членов ряда, составленного из членов геометрической прогрессии

                                               (***)

Так как , то ряд (***) сходится (см. разд. 2.1, пример 2.3). Тогда согласно признаку сравнения ряд (**) также сходится. Но ряд (**) получен из данного ряда  в результате отбрасывания конечного числа первых членов, следовательно, ряд  сходится.

2) Пусть . Докажем, что ряд  расходится. Возьмём  настолько малым, чтобы . Тогда при  в силу левого из неравенств (*) выполняется неравенство: или . Таким образом, члены ряда, начиная с некоторого номера , возрастают с увеличением их номеров, т.е. общий член ряда  не стремится к нулю при . Следовательно, согласно теореме 2.2 ряд  расходится.

Замечание. Как показывают примеры, при  ряд  может как сходиться, так и расходиться. В этом случае необходимо дополнительное исследование ряда с помощью признака сравнения или других признаков.

Пример 3. Исследовать ряд  на сходимость.

Решение. Так как , , то

следовательно, ряд сходится.

Теорема 2.6 (радикальный признак Коши). Если все члены ряда  положительны и

                                                      (2.5)

то при  ряд сходится, при  ряд расходится (при  теорема ответа

Похожие материалы

Информация о работе