Решение задач на поверхностные интегралы, компоненты векторного поля, формулу Остроградского-Гаусса

Оглавление

Задача 4. 3

Задача 14. 3

Задача 24. 4

Задача 34. 4

Задача 44. 6

Задача 54. 8

Список литературы.. 9

Задача 4

Решение:

Запишем уравнение плоскости p в параметрическом виде:

Найдем частные производные:

Пусть, множество

Тогда, поверхностный интеграл можно выразить через двойной:

Задача 14

Решение:

Запишем компоненты векторного поля :

Уравнение сферы в сферических координатах:

Применим формулу Стокса:

Т.к.

Тогда:

Это значение соответствует внутренней нормали.

Тогда, искомый интеграл:

Задача 24

Решение:

1)

Тогда, производная функции по направлению :

2)

Задача 34

Решение:

1)

Искомый поток векторного поля  через поверхность  – это интеграл:

Где  - единичный вектор внешней нормали.

S – поверхность пирамиды:

Т.к. поверхность S состоит из 4 гладких «кусочков», то запишем этот интеграл в виде суммы:

2)

Посчитаем исходный интеграл с помощью формулы Остроградского-Гаусса:

Задача 44

Решение:

1)

Циркуляция векторного поля  по контуру C треугольника с вершинами в токах (2,0,0), (0,2,0), (0,0,4) – это интеграл:

Посчитаем интеграл на каждой стороне треугольника:

Сторона АВ задается параметрически:

Тогда интеграл по стоне АВ:

Сторона ВС задается параметрически:

Тогда интеграл по стороне ВC:

Сторона CA задается параметрически:

Тогда интеграл по стоне АВ:

Тогда исходный интеграл:

2)

Посчитаем интеграл с помощью формулы Стокса.

Пусть S – это поверхность, ограниченная треугольником ABC, а  – нормаль к ней. Тогда:

Задача 54

Решение:

Запишем компоненты векторного поля :

Для того, чтобы поле было потенциальным, необходимо:

Проверим это условие:

Т.е. векторное поле

Список литературы

Берс Л. Математический анализ. M.: Высш. шк., 1975. Т. 1–2.

Зорич В. А. Математический анализ. М.: Наука, 1981. Т. 1–2.

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчис-ления. М.: Наука, 1969. Т. 1–3.