Аппроксимация кубическим сплайном (моделирование сплайн-интерполяции): |
Входные параметры - векторы х,y - исходные опорные точки. |
|
Когда все сплайн-коэффициенты найдены на каждом из выделенных интервалов, нужно построить аппроксимирующие полиномы 3-ей степени. Получаем аппроксимирующую функцию: |
|
Исследуем интерполяцию кривой f(x)=ln(x)/(1+x) на интервале [1,5] Зададимся опорными точками: |
|
|
|
|
Производная функции в нулевой опорной точке: |
|
|
Эталонным резулльтатом в задаче интерполирования является график заданной функции. Для оценки аппроксимирующей функции построим её на одном графике с эталонной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Промежуточные точки: |
|
|
Значения интерполированного многочлена в промежуточных точках близки к значениям исходной функции f(x). Разница между ними в этих точках увеличивается в конце отрезка. |
Классический метод наименьших квадратов. |
Проведём аппроксимацию функции f(x)=ln(x)/(1+x) на интервале [1,5] |
|
Отрезок: Шаг: |
|
|
|
Число узлов интерполирования: |
|
Степень полинома: |
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим разности функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из матрицы разностей видно, что нужно брать полином не меньше 5-ой степени! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подсчитаем суммы: |
|
|
|
|
Суммы при коэффииентах ai в левой части систмы: |
|
|
|
|
|
искомый полином!!! |
|
Найдём промежуточные точки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод наименьших квадратов даёт хорошие результаты. Разница между истинными значениями функции и значениями, полученными по МНК, отличается в среднем на 0.01. |
Метод Чебышева. |
Смоделируем метод Чебышева для интерполяции функции f(x)=ln(x)/(1+x): |
|
|
- число узлов интерполирования |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- полином первой степени |
|
|
- сумма квадратов отклонений |
Вычисляем полином второй степени: |
|
|
|
|
|
Находим коэффициент а2: |
|
|
|
- полином второй степени |
|
|
- сумма квадратов отклонений |
Вычисляем полином третьей степени: |
|
|
|
|
|
Находим коэффициент а3: |
|
|
|
- полином третьей степени |
|
|
- сумма квадратов отклонений |
Вычисляем полином четвёртой степени: |
|
|
|
|
|
Находим коэффициент а4: |
|
|
|
- полином 4-ой степени |
|
|
- сумма квадратов отклонений |
Вычисляем полином пятой степени: |
|
|
|
|
|
Находим коэффициент а5: |
|
|
- полином 5-ой степени |
|
|
|
- сумма квадратов отклонений |
|
|
По графику видно, что найденный нами полином даёт значения, близкие к действительным значенениям данной функции. |
Аппроксимация функции на основе использованя целочисленных значений сумм в виде |
значений полинома при помощи использования конечных разностей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По графику можно легко заметить, что с помощью данного метода получено недостаточно хорошее приближение к истинным значениям функции(особенно хорошо это видно на отрезке [4,5]). |
Метод градиентного спуска |
Функция вычисления градиента: |
|
Поиск минимума: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эталонным является результат минимизации, полученный с использованием стандартной функции MathCad Minimize. |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, можно сделать вывод, что с увеличением числа итераций точность результата минимизации повышается. |
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.