Аппроксимация кубическим сплайном (моделирование сплайн-интерполяции)

Аппроксимация кубическим сплайном (моделирование сплайн-интерполяции):

Входные параметры - векторы х,y - исходные опорные точки.

Когда все сплайн-коэффициенты найдены на каждом из выделенных интервалов, нужно

построить аппроксимирующие полиномы 3-ей степени. Получаем аппроксимирующую функцию:

Исследуем интерполяцию кривой f(x)=ln(x)/(1+x) на интервале [1,5]

Зададимся опорными точками:

Производная функции в нулевой опорной точке:

Эталонным резулльтатом в задаче интерполирования является график заданной функции.

Для оценки аппроксимирующей функции построим её на одном графике с эталонной.

Промежуточные точки:

Значения интерполированного многочлена в промежуточных точках близки к значениям

исходной функции f(x). Разница между ними в этих точках увеличивается в конце отрезка.

Классический метод наименьших квадратов.

Проведём аппроксимацию функции f(x)=ln(x)/(1+x) на интервале [1,5]

Отрезок:      Шаг: 

Число узлов интерполирования:

Степень полинома:

Вычислим разности функций:

Из матрицы разностей видно, что нужно брать полином не меньше 5-ой степени!

Подсчитаем суммы:

Суммы при коэффииентах ai в левой части систмы:

искомый полином!!!

Найдём промежуточные точки:

Метод наименьших квадратов даёт хорошие результаты. Разница между истинными значениями функции и значениями, полученными по МНК, отличается в среднем на 0.01.

Метод Чебышева.

Смоделируем метод Чебышева для интерполяции функции f(x)=ln(x)/(1+x):

- число узлов интерполирования

- полином первой степени

- сумма квадратов отклонений

Вычисляем полином второй степени:

Находим коэффициент а2:

- полином второй степени

- сумма квадратов отклонений

Вычисляем полином третьей степени:

Находим коэффициент а3:

- полином третьей степени

- сумма квадратов отклонений

Вычисляем полином четвёртой степени:

Находим коэффициент а4:

- полином 4-ой степени

- сумма квадратов отклонений

Вычисляем полином пятой степени:

Находим коэффициент а5:

- полином 5-ой степени

- сумма квадратов отклонений

По графику видно, что найденный нами полином даёт значения, близкие к действительным значенениям данной функции.

Аппроксимация функции на основе использованя целочисленных значений сумм в виде

значений полинома при помощи использования конечных разностей.

По графику можно легко заметить, что с помощью данного метода получено недостаточно

хорошее приближение к истинным значениям функции(особенно хорошо это видно на отрезке

[4,5]).

Метод градиентного спуска

Функция вычисления градиента:

Поиск минимума:

Эталонным является результат минимизации, полученный с использованием стандартной функции MathCad Minimize. 

Таким образом, можно сделать вывод, что с увеличением числа итераций точность результата минимизации повышается.