Комплексные числа и алгебраические действия над ними
Рассмотрим квадратное уравнение .
Определим его корни .
Не существует действительного числа, квадрат которого равен -1. Но если формулой определить оператор i как мнимую единицу, то решение этого уравнения можно записать в виде . При этом и - комплексные числа, в которых -1 это действительная часть, 2 или во втором случае -2 – мнимая часть. Мнимая часть – это также действительное (вещественное) число. Мнимая часть, умноженная на мнимую единицу, означает уже мнимое число.
В общем виде комплексное число имеет вид
z = x + iy ,
где x, y – вещественные числа, – мнимая единица. В ряде прикладных наук, например, в электротехнике, электронике, теории сигналов мнимая единица обозначается через j. Вещественные числа x = Re{z} и y = Im{z} называются вещественной и мнимой частями числа z. Выражение называется алгебраической формой записи комплексного числа.
Любое действительное число есть частный случай комплексного числа в виде . Мнимое число тоже частный случай комплексного числа .
Определение множества комплексных чисел С
.
Это выражение читается следующим образом: множество С, состоящее из элементов , таких что x и y принадлежат множеству действительных чисел R и - это мнимая единица. Отметим, что и т.д.
Два комплексных числа и равны, если и только если равны их действительные и мнимые части, т.е. и .
Комплексные числа и функции широко используются в науке и технике, в частности, в механике, анализе и расчете цепей переменного тока, аналоговой электронике, в теории и обработке сигналов, в теории автоматического управления и др. прикладных науках.
Сложение двух комплексных чисел состоит в сложении их действительных и мнимых частей, т.е.
.
Соответственно разность двух комплексных чисел
.
Комплексное число называется комплексно сопряженным числу z = x + iy.
Комплексно сопряженные числа z и z* отличаются знаками мнимой части. Очевидно, что
.
Отсюда
.
Любое равенство между комплексными выражениями остается справедливым, если в этом равенстве всюду i заменить на -i, т.е. перейти к равенству сопряженных чисел. Числа i и –i алгебраически неразличимы, поскольку .
Произведение (умножение) двух комплексных чисел может быть вычислено следующим образом:
.
Поэтому
.
Деление двух комплексных чисел:
.
Пример:
.
Комплексное число графически можно представить в прямоугольной системе координат. Зададим в плоскости прямоугольную систему координат (x, y).
На оси Ox будем располагать действительные части x , она называется действительной (вещественной) осью, на оси Oy –мнимые части y комплексных чисел. Она носит название мнимой оси. При этом каждому комплексному числу соответствует определенная точка плоскости, и такая плоскость называется комплексной плоскостью. Точке А комплексной плоскости будет соответствовать вектор ОА.
Число x называется абсциссой комплексного числа , число y – ординатой.
Пара комплексно сопряженных чисел отображается точками, расположенными симметрично относительно действительной оси.
Если на плоскости задать полярную систему координат, то каждое комплексное число z определяется полярными координатами . При этом модуль числа – это полярный радиус точки, а угол - её полярный угол или аргумент комплексного числа z.
Модуль комплексного числа всегда неотрицательный. Аргумент комплексного числа не определяется однозначно. Главное значение аргумента должно удовлетворять условию . Каждой точке комплексной плоскости соответствует также общее значение аргумента . Аргументы, отличающиеся значением, кратным 2π, считаются равными. Аргумент числа нуль не определен.
Главное значение аргумента определяют по выражениям:
Очевидно, что
При этом
, .
Представление комплексного числа z в виде
называется тригонометрической формой комплексного числа.
Пример.
Разложение в ряд Маклорена для функций действительного аргумента имеет вид:
Для экспоненциальной функции комплексного аргумента z разложение имеет аналогичный характер
.
Разложение в ряд Маклорена для экспоненциальной функции мнимого аргумента можно представить как
Получившееся тождество называется формулой Эйлера.
Для отрицательного аргумента оно имеет вид
.
Комбинируя эти выражения, можно определить следующие выражения для синуса и косинуса
.
Пользуясь формулой Эйлера, из тригонометрической формы представления комплексных чисел
можно получить показательную (экспоненциальную, полярную) форму комплексного числа, т.е. его представление в виде
,
где - полярные координаты точки с прямоугольными координатами (x,y).
Число, сопряженное комплексному числу , в показательной форме записывается следующим образом .
Для показательной формы легко определить следующие формулы умножения и деления комплексных чисел
,
,
Т.е., в показательной форме произведение и деление комплексных чисел выполняется проще, чем в алгебраической форме. При умножении модули сомножителей перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое число сомножителей. В частности, при умножении комплексного числа z на i вектор z поворачивается против часовой стрелки на 90
При делении модуль числителя делится на модуль знаменателя, и из аргумента числителя вычитается аргумент знаменателя.
Используя показательную форму комплексных чисел, можно получить выражения для известных тригонометрических тождеств. Например, из тождества
с помощью формулы Эйлера можно записать
Приравнивая действительную и мнимую части в данном выражении, получаем выражения для косинуса и синуса суммы углов
Возведение комплексного числа в натуральную степень n производится по формуле
, т.е.,
.
Пример. Вычислим .
Представим число в тригонометрической форме
’
Применяя формулу возведения в степень, получим
.
Положив в выражении значение r = 1, получим так называемую формулу Муавра , при помощи которой можно определять выражения синусов и косинусов кратных углов.
Корень n–й степени из комплексного числа z имеет n различных значений, определяемых по выражению
Пример. Найдем .
Для этого выразим комплексное число () к тригонометрической форме
.
По формуле вычисления корня из комплексного числа, получаем
Логарифм комплексного числа z – это число w, для которого . Натуральный логарифм комплексного числа имеет бесконечное множество значений и вычисляется по формуле
При этом ln(r)– обычный вещественный логарифм модуля r.
Пример.
.
Справедливо равенство .
В электротехнике, электронике, обработке сигналов и др. областях часто используются функции, для которых независимая переменная вещественная, но функция принимает комплексные значения, например, а) , б) .
Подобную функцию можно разложить на вещественную и мнимую части, например,
Таким образом, комплексная функция от вещественного аргумента представляется двумя вещественными функциями того же аргумента. Например, комплексное напряжение
состоит из действительной (косинусоидальной) и мнимой (синусоидальной) части. Такое напряжение можно представлять как вектор длиной Um , начальной фазой (углом) , вращающийся с угловой скоростью ω.
При этом если комплексные функции складываются, то складываются их вещественные и мнимые части. Если комплексная функция умножается на константу или вещественную функцию, то её вещественная и мнимая части умножаются на тот же множитель. Дифференцирование / интегрирование такой комплексной функции сводится к дифференцированию / интегрированию вещественной и мнимой части.
Например, дифференцирование выражения комплексного напряжения
заключается в умножении его на iω.
Поэтому проще и быстрее выполнять все вычисления над всей комплексной функцией, а в качестве окончательного выражения взять вещественную или мнимую часть от результата.
Пусть Е – множество точек в плоскости , а G - множество точек в плоскости . На множестве Е задана функция комплексного переменного , если каждому числу по некоторому правилу поставлено в соответствие единственное число . Функцию f(z)_ можно записать в виде , где - вещественная часть функции f(z), а – мнимая часть функции. Примеры: .
Значение z изображается точкой в комплексной плоскости z, а соответствующее значение w - точкой в комплексной плоскости w. При отображении w = f(z) линии плоскости z переходят в линии плоскости w, фигуры одной плоскости в фигуры другой, но формы линий или фигур могут существенно измениться.
Упражнения:
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.