Комплексные числа и алгебраические действия над ними

Комплексные числа и алгебраические действия над ними

1. Комплексные числа

Рассмотрим  квадратное уравнение      .

Определим его корни   .

Не существует действительного числа, квадрат которого равен -1. Но если формулой  определить оператор i как мнимую единицу, то решение этого уравнения можно записать в  виде . При этом   и  - комплексные числа, в которых  -1 это действительная часть, 2 или во втором случае -2 – мнимая часть. Мнимая часть – это  также действительное (вещественное)  число. Мнимая часть, умноженная на мнимую единицу, означает уже мнимое число.

В общем виде комплексное число имеет  вид 

z = x + iy ,

где x, y – вещественные числа,  – мнимая единица. В ряде прикладных  наук, например, в электротехнике, электронике, теории сигналов  мнимая единица обозначается через j.  Вещественные числа  x = Re{z} и y = Im{z} называются вещественной и мнимой частями числа z.  Выражение  называется алгебраической формой записи комплексного числа.  

Любое действительное число есть частный случай комплексного числа в виде . Мнимое число тоже частный случай комплексного числа .

Определение множества комплексных чисел  С

Это выражение читается следующим образом: множество С, состоящее из элементов , таких что x и y принадлежат множеству действительных чисел R и - это мнимая единица.  Отметим, что  и т.д.

Два комплексных числа  и  равны, если и только если равны их действительные и мнимые части, т.е. и .

Комплексные числа и функции широко используются в науке и технике, в частности, в механике, анализе и расчете цепей переменного тока, аналоговой электронике, в теории и обработке сигналов, в теории автоматического управления и др. прикладных науках.

2. Арифметика комплексных  чисел
   
   

Сложение двух комплексных чисел состоит в сложении их действительных и мнимых частей, т.е.

.

Соответственно разность двух комплексных чисел

.

Комплексное число  называется комплексно сопряженным числу z = x + iy.

Комплексно сопряженные числа  z  и  z^*  отличаются знаками мнимой части.   Очевидно, что

.

Отсюда

.

Любое равенство между комплексными выражениями остается справедливым, если в этом равенстве всюду  i заменить на -i, т.е. перейти к равенству сопряженных чисел. Числа i и  –i  алгебраически неразличимы, поскольку .

Произведение (умножение)  двух комплексных чисел может быть вычислено следующим образом:

.

Поэтому

.

Деление двух комплексных чисел:

.

Пример:

.

3. Комплексная плоскость
   
   

Комплексное число  графически можно представить  в прямоугольной системе координат. Зададим в плоскости прямоугольную систему координат (x,  y).

На оси Ox будем располагать  действительные части x , она называется действительной (вещественной) осью, на оси Oy –мнимые части y  комплексных чисел. Она носит название мнимой оси. При этом каждому комплексному числу соответствует определенная точка плоскости, и такая плоскость называется комплексной плоскостью. Точке А комплексной плоскости будет соответствовать вектор ОА.

Число x  называется абсциссой комплексного числа  , число y – ординатой.

Пара комплексно сопряженных чисел отображается точками, расположенными симметрично относительно действительной оси.

 

Если на плоскости задать полярную систему координат, то каждое комплексное число  z  определяется полярными координатами . При этом модуль числа   – это полярный радиус  точки, а угол - её полярный угол или аргумент комплексного числа  z.

Модуль  комплексного  числа  всегда неотрицательный.  Аргумент комплексного числа  не определяется однозначно.  Главное значение аргумента  должно удовлетворять условию .  Каждой точке комплексной плоскости соответствует также общее  значение аргумента . Аргументы, отличающиеся значением, кратным 2π, считаются равными. Аргумент числа нуль не определен.

 Главное значение аргумента определяют по выражениям:

Очевидно, что 

При этом
,   .

Представление комплексного числа z  в виде

называется тригонометрической формой комплексного числа.

Пример.

4.    Показательная форма комплексных чисел

Разложение в ряд Маклорена  для функций действительного аргумента     имеет вид:

Для экспоненциальной функции комплексного аргумента z  разложение имеет аналогичный характер

.

Разложение в ряд Маклорена для экспоненциальной функции мнимого аргумента можно  представить  как

Получившееся тождество называется формулой Эйлера.

Для отрицательного аргумента  оно имеет вид

.

Комбинируя эти выражения, можно определить следующие выражения для синуса и косинуса

.

Пользуясь формулой Эйлера, из тригонометрической формы представления комплексных чисел 

можно получить  показательную (экспоненциальную,  полярную)  форму  комплексного числа, т.е.  его представление  в виде     

,

 где   - полярные координаты точки с прямоугольными координатами (x,y).

         Число, сопряженное комплексному числу , в показательной форме записывается следующим образом  .

Для показательной формы легко определить следующие формулы умножения и деления комплексных чисел

,    

,     

 

Т.е., в показательной форме произведение и деление комплексных чисел выполняется проще, чем в алгебраической форме. При умножении модули сомножителей перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое число сомножителей.  В частности, при умножении комплексного числа z на i вектор z поворачивается против часовой стрелки на 90

При делении модуль числителя делится на модуль знаменателя, и из аргумента числителя вычитается аргумент знаменателя.

Используя показательную форму комплексных чисел, можно получить выражения для известных тригонометрических тождеств. Например, из тождества

с помощью формулы Эйлера можно записать

Приравнивая действительную и мнимую части в данном выражении, получаем выражения для косинуса и синуса суммы углов

5. Степени, корни и логарифмы комплексных чисел

Возведение комплексного числа      в натуральную степень n  производится по формуле

,   т.е.,

  .

Пример. Вычислим   .

Представим число  в тригонометрической форме

’

Применяя формулу возведения в степень, получим

.

Положив в выражении   значение r = 1, получим так называемую формулу Муавра , при помощи которой можно определять  выражения синусов и косинусов кратных углов.

Корень n–й степени из комплексного числа z имеет n  различных значений, определяемых по выражению

Пример.  Найдем .

Для этого выразим комплексное число ()  к тригонометрической форме

.

 По формуле вычисления корня из комплексного числа, получаем

Логарифм комплексного числа z – это число w, для которого .  Натуральный логарифм комплексного числа имеет бесконечное множество значений и вычисляется по формуле

При этом  ln(r)– обычный вещественный  логарифм модуля r.

Пример.

.

Справедливо равенство .

6. Комплексные  функции от вещественного аргумента

В электротехнике, электронике, обработке сигналов и др. областях часто используются функции, для которых независимая переменная вещественная, но функция принимает комплексные значения,  например,  а) , б) .

Подобную функцию можно разложить на вещественную и мнимую части, например,

Таким образом, комплексная функция от вещественного аргумента представляется двумя вещественными функциями того же аргумента. Например, комплексное напряжение

 состоит из действительной (косинусоидальной) и мнимой (синусоидальной) части. Такое напряжение можно представлять как вектор длиной U_m , начальной фазой (углом) , вращающийся с угловой скоростью ω.

                                                                                                                            

При этом если комплексные функции складываются, то складываются их вещественные и мнимые части. Если комплексная функция умножается на константу или вещественную функцию, то её вещественная и мнимая части умножаются на тот же множитель.  Дифференцирование / интегрирование такой комплексной функции сводится к  дифференцированию / интегрированию вещественной  и мнимой части.

Например, дифференцирование выражения комплексного напряжения

 заключается в умножении его на iω.

Поэтому проще и быстрее выполнять все вычисления над всей комплексной функцией, а в качестве окончательного  выражения  взять вещественную или мнимую часть  от результата.

7. Понятие о функциях комплексного переменного

Пусть Е – множество точек в плоскости ,  а G - множество точек в плоскости . На множестве Е задана функция комплексного переменного , если каждому числу  по некоторому правилу поставлено в соответствие единственное число . Функцию f(z)_ можно записать в виде , где  - вещественная часть функции  f(z), а – мнимая часть функции. Примеры: .

Значение z изображается точкой в комплексной плоскости z, а соответствующее значение w -  точкой в комплексной плоскости w. При отображении  w = f(z) линии плоскости z переходят в линии плоскости w, фигуры одной плоскости в фигуры другой, но формы линий или фигур могут существенно измениться.

Упражнения:

1.  Привести к виду  следующие выражения:
   а)     б),     в) .
2. Отобразите на комплексной плоскости числа
   .
3. Приведите к тригонометрической  и показательной формам комплексные числа
   а)  ,     б) ,   в) .
4. Упростите выражение
   .
5. Найдите корни уравнения (шесть значений корня из 1) и покажите их расположение на комплексной плоскости