Многочлены
Многочленом (или полиномом) степени n от переменного z (комплексного или вещественного) называется выражение вида
,
где - коэффициенты полинома.
Рассматриваемые в технических задачах полиномы имеют вещественные (действительные) коэффициенты.
Корень многочлена (нуль) – это число λ, при котором .
Согласно основной теореме алгебры комплексных чисел C всякий многочлен ненулевой степени с любыми числовыми коэффициентами имеет хотя бы один действительный или комплексный корень. Число λ является корнем многочлена a(z) тогда и только тогда, когда a(z) делится без остатка на z – λ. Если a(z) делится без остатка на , но не делится на , то λ является k – кратным корнем или корнем кратности k многочлена a(z). Корни кратности k = 1 называются простыми корнями. Каждый полином степени n имеет n корней, в том числе и кратных. Поэтому полином можно представить в виде произведения (факторизованная форма)
.
Пример 1. .
На рис.1 показан график этого полинома при вещественных z.
Рис.1
Число λ является k-кратным корнем полинома a(z), когда многочлен a(z) и его производные до порядка k – 1 включительно обращаются в нуль при , а .
Если коэффициенты многочлена - действительные числа и λ – корень полинома, т.е. , то для комплексно сопряженного числа имеем , т.е. - тоже корень a(z). Поэтому для полиномов с действительными коэффициентами комплексные корни всегда встречаются только комплексно сопряженными парами.
При действительных коэффициентах факторизованный вид полинома
,
где - действительные корни
- комплексные корни.
Произведение представляет собой квадратный полином с действительными коэффициентами.
Факторизованный полином состоит из полиномов первой и второй степени с действительными коэффициентами.
Пример 2. Полином имеет корни .
Факторизованная форма полинома ,
факторизованная форма полинома с действительными коэффициентами .
Многочлен называется устойчивым, если все его корни лежат в левой полуплоскости, т.е. если все вещественные части корней - отрицательны. Многочлены из примеров 1 и 2 относятся к неустойчивым. Легко доказать, что многочлен первой или второй степени с вещественными коэффициентами и положительным старшим коэффициентом an устойчив только тогда, когда все его коэффициенты положительны. Для устойчивости многочленов более высоких степеней условие положительности коэффициентов необходимо, но недостаточно.
Составил: доц. Щетинин Ю.И.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.