Многочлены. Многочлен (или полиномом) степени n

Многочлены

Многочленом  (или полиномом) степени n от переменного z (комплексного или вещественного) называется выражение вида       

,

где   -  коэффициенты полинома.

Рассматриваемые в технических задачах полиномы имеют вещественные (действительные)  коэффициенты.

            Корень многочлена  (нуль) – это число λ, при котором .

Согласно основной теореме алгебры комплексных чисел C всякий многочлен ненулевой степени с любыми числовыми коэффициентами имеет хотя бы один действительный или комплексный корень. Число λ является корнем многочлена a(z)  тогда и только тогда, когда a(z) делится без остатка на  z – λ. Если a(z) делится без остатка на  , но не делится на , то λ является  k – кратным корнем или корнем кратности k многочлена a(z).  Корни кратности  k = 1 называются простыми корнями. Каждый полином степени n имеет n корней, в том числе и кратных. Поэтому полином можно представить в виде произведения (факторизованная форма)

                     .

Пример 1.    .

На рис.1 показан график  этого полинома при вещественных   z.

                                                            Рис.1

Число λ является  k-кратным корнем полинома a(z), когда многочлен a(z) и его производные до порядка k – 1 включительно обращаются в нуль при ,  а .

            Если коэффициенты многочлена    - действительные числа и λ – корень полинома, т.е. , то для комплексно сопряженного числа   имеем , т.е.  - тоже корень a(z).  Поэтому для полиномов с действительными коэффициентами комплексные корни всегда встречаются только комплексно сопряженными парами.

            При действительных коэффициентах  факторизованный вид полинома

,

где   - действительные корни

         -  комплексные  корни.

Произведение    представляет собой квадратный полином с действительными коэффициентами.

            Факторизованный полином   состоит из полиномов первой и второй степени с действительными коэффициентами.

Пример 2.  Полином   имеет корни .

Факторизованная форма полинома  ,

факторизованная форма полинома с действительными коэффициентами  .

            Многочлен    называется устойчивым, если все его корни лежат в левой полуплоскости, т.е. если все вещественные части корней - отрицательны. Многочлены  из примеров 1 и 2  относятся  к  неустойчивым. Легко доказать, что многочлен первой или второй степени с вещественными коэффициентами и положительным старшим коэффициентом a_n устойчив только тогда, когда все его коэффициенты положительны. Для устойчивости многочленов более высоких степеней условие положительности коэффициентов необходимо, но недостаточно.

Составил:      доц.  Щетинин Ю.И.