Математика \ Высшая математика

Числовые ряды. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды

Страницы работы

15 страниц (Word-файл)

Скачать файл

Фрагмент текста работы

2. Числовые ряды

2.1. Понятие числового ряда

Определение. Пусть дана бесконечная числовая последовательность Выражение вида:

(2.1)

называется числовым рядом. Числа называются членами ряда (2.1), член a_n называют общим членом ряда ().

Сокращённое обозначение ряда (2.1): .

Определение. Сумма n первых членов ряда называется n-й частичной суммой рядаи обозначается: , т.е. .

Рассмотрим последовательность частичных сумм:

, , , …, , …

Определение. Если существует конечный предел последовательности частичных сумм : , то ряд (2.1) называют сходящимся, а число S называют суммой ряда (2.1). В этом случае пишут: . Если последовательность не имеет конечного предела, то ряд (2.1) называют расходящимся.

Пример 1. Доказать, что ряд сходится.

Решение. Возьмём сумму первых n членов ряда:

Слагаемые этой суммы могут быть представлены в виде:

, , , …, .

Поэтому

Отсюда следует, что предел последовательности частичных сумм данного ряда равен единице: .

Таким образом, ряд сходится и его сумма S = 1.

Пример 2. Исследовать ряд на сходимость:

Решение. Последовательность частичных сумм ряда имеет вид: , … и, значит, не сходится ни к какому пределу, поэтому данный ряд расходится.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд, составленный из членов геометрической прогрессии (а – первый член геометрической прогрессии, q – знаменатель прогрессии):

. (2.2)

Решение. Частичная сумма этого ряда при имеет вид:

, здесь использована формула суммы первых членов геометрической прогрессии.

Отсюда:

1) если , то , т.е. ряд сходится и его сумма: . Например, при а = 1, имеем:

;

2) если , то

, т.е. ряд расходится;

раз

при

ряд (2.2) принимает вид:

. В этом случае

, т.е. ряд расходится;

4) при ряд (2.2) принимает вид: Его частичные суммы при n чётном и при n нечётном. Следовательно, не существует и ряд расходится. Таким образом, ряд (2.2) является сходящимся при и расходящимся при .

Определение. Если в выражении (2.1) отбросить n первых членов, то оставшийся ряд

называют n-м остатком ряда (2.1) и обозначают .

Если (2.1) сходится, то .

Сходимость или расходимость числового ряда не нарушается, если в нём отбросить любое конечное число членов. Но его сумма, если она существует, при этом изменяется.

Свойства сходящихся рядов:

1) если ряд сходится и его сумма равна S, то и ряд , где с – некоторое действительное число, также сходится, и его сумма равна ;

2) если ряды и сходятся и их суммы соответственно равны S_I и S_II, то и ряд сходится и его сумма равна: S_I ± S_II.

В приложениях применяются только сходящиеся ряды, поэтому по данному ряду необходимо, прежде всего, определить, является ли он сходящимся. Исследование сходимости рядов проводится с помощью теорем, называемых признаками сходимости.

Теорема 2.1 (необходимый признак сходимости ряда). Если числовой ряд сходится, то .

Доказательство. Пусть ряд сходится, т.е. имеет место равенство: , где S – сумма ряда; но тогда имеет место также равенство . Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем:

, .

Но . Следовательно, , что и требовалось доказать.

Заметим, что этот признак сходимости не является достаточным. Если , то ряд может быть сходящимся или может быть расходящимся. Так, для ряда из примера 3 предел общего члена ряда равен: , и этот ряд сходится.

Определение. Ряд

(2.3)

называется гармоническим рядом.

Гармонический ряд (2.3) является расходящимся (как будет показано в разд. 2.2, пример 5), хотя . Таким образом, если (т.е. если общий член ряда стремится к нулю), то ещё нельзя сделать вывод о сходимости ряда. Необходимо дополнительное исследование, которое может быть проведено с помощью достаточных условий (признаков) сходимости ряда. Кроме того, из теоремы 2.1 можно сделать вывод о достаточном признаке расходимости ряда.

Теорема 2.2 (достаточный признак расходимости ряда).Если , то ряд расходится.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд: .

Решение. Запишем общий член данного ряда . Тогда

, т.е. ряд расходится.

2.2. Достаточные признаки сходимости рядов
с положительными членами

Теорема 2.3 (признак сравнения). Пусть даны два ряда с положительными членами

, (*)

, (**)

и для всех выполняются неравенства

, (***)

тогда: 1) из сходимости ряда (**) следует сходимость ряда (*);

2) из расходимости ряда (*) следует расходимость ряда (**).

Доказательство

1) Обозначим через и соответственно частичную сумму первого и второго рядов, т.е. , . Из условия (2.6) следует, что . Так как ряд (**) сходится, то существует предел его частичных сумм:

Из того, что члены рядов (*) и (**) положительны, следует, что , и тогда в силу неравенства получаем: . Таким образом, мы доказали, что частичные суммы ограниченны. Кроме того, при увеличении частичная сумма возрастает. А из того, что последовательность частичных сумм возрастает и ограничена, следует, что она имеет предел: , причём .

2) Пусть ряд (*) расходится. Так как члены этого ряда положительны, то его частичная сумма возрастает с возрастанием , и . Тогда в силу неравенства , получаем: , т.е. ряд (**) расходится.

В качестве ряда для сравнения необходимо выбрать такой ряд, о котором заранее известно, является ли он сходящимся или расходящимся. Примерами таких рядов являются: ряд, представляющий сумму членов геометрической прогрессии (см. разд. 2.1, пример 3), а также гармонический (расходящийся) ряд.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд:

Решение. Для того чтобы установить сходимость ряда, воспользуемся неравенством и сравним данный ряд с рядом . Ряд: представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем . Так как , то ряд – сходится. Согласно признаку сравнения (см. теорему 2.3), ряд также сходится.

Чаще на практике бывает удобнее использовать признак сравнения в другой форме.

Теорема 2.4 (предельный признак сравнения).Два ряда и с положительными членами одновременно сходятся или одновременно расходятся, если существует конечный предел: и .

Пример 2. Исследовать ряд: на сходимость.

Решение. Общий член данного ряда . Сравним ряд с расходящимся гармоническим рядом: , общий член которого . Далее, воспользуемся предельным признаком сравнения (см. теорему 2.4):

Отсюда следует, что ряды: и одновременно расходятся, т.е. ряд – расходящийся.

Теорема 2.5 (признак Даламбера).Если все члены ряда положительны и

, (2.4)

то при ряд сходится, при ряд расходится (при ответа о сходимости ряда теорема не даёт).

Доказательство

1) Пусть и . Докажем, что ряд сходится. По определению предела числовой последовательности для любого существует номер , такой, что при выполняется неравенство: .

Отсюда следует, что или

. (*)

Так как , то можно взять настолько малым, что будет выполняться неравенство: . Полагая , где , на основании правого из неравенств (*) имеем:

или для

Придавая значения из последнего неравенства получаем:

т.е. члены ряда

(**)

меньше соответствующих членов ряда, составленного из членов геометрической прогрессии

(***)

Так как , то ряд (***) сходится (см. разд. 2.1, пример 2.3). Тогда согласно признаку сравнения ряд (**) также сходится. Но ряд (**) получен из данного ряда в результате отбрасывания конечного числа первых членов, следовательно, ряд сходится.

2) Пусть . Докажем, что ряд расходится. Возьмём настолько малым, чтобы . Тогда при в силу левого из неравенств (*) выполняется неравенство: или . Таким образом, члены ряда, начиная с некоторого номера , возрастают с увеличением их номеров, т.е. общий член ряда не стремится к нулю при . Следовательно, согласно теореме 2.2 ряд расходится.

Замечание. Как показывают примеры, при ряд может как сходиться, так и расходиться. В этом случае необходимо дополнительное исследование ряда с помощью признака сравнения или других признаков.

Пример 3. Исследовать ряд на сходимость.