Определение оценок числовых характеристик случайных величин и их систем. Оценка точности и надежности характеристик случайных величин и их систем

Министерство профессионального и общего образования РФ

Новосибирский государственный технический университет

Кафедра техники и электрофизики высоких напряжений

Расчетное задание на тему:

Основы математической статистики

Выполнил

студент группы Эн1-52

Вариант№

Принял:

Савинов А. А.

94

Кандаков С. А.

Новосибирск

2007

Вариант задания №94:

Цель расчетного задания:

Ознакомление с основными задачами, решаемыми методами математической статистики:

- определением оценок числовых характеристик случайных величин и их систем;

- оценкой точности и надежности этих характеристик;

- проветкой прадоподобия различных гипотез: об объединяемости двух выборок; о подчинении данного статистического материала некоторому закону распределения; о наличии или отсутствии корреляционной связи между случайными величинами;

- определением коэффициентов линейной регрессии случайных величин X и Y и оценкой ее статистической значимости.

Статистической обработке подвергаются две выборки случайных величин X и Y.

Решение

1)

Определить оценки мат. ожидания и дисперсии случайных величин X и Y, заданных в виде двух простых статистических совокупностей.

Статистические оценки математического ожидания и дисперсии генеральных совокупностей X и Y, удовлетворяющие требованиям состоятельности, несмещенности и эффективности:

2)

Проверить правдоподобие гипотезы о принадлежности двух выборок X и Y единой генеральной совокупности с помощью трех критериев и определить уровни значимости, с которыми проверяемая гипотеза не противоречит располагаемому статистическому материалу.

a) Порядковый критерий Вилькоксона :

Для использования порядкового критерия Вилькоксона необходимо составить единый вариационный ряд для двух выборок X и Y(перемешанный по признаку возрастания элементов выборок). Критерием согласия выдвинутой гипотезы о принадлежности двух выборок единой генеральной совокупности служат числа инверсий, характеризующие степень перемешанности единого вариационного ряда.

Составление единого вариационного ряда:

Сортировка ряда по признаку возрастания элементов:

Функция для вычисления числа инверсий:

В случае, когда в выборках X и Y присутствуют равные элементы первым всегда берется элемент выборки, матрица которой стоит в функции на первом месте.

Число инверсий иксов с игреками:

Число инверсий игреков с иксами можно вычислить по формуле:

- так как для вычисления уровня значимости необходимо большее из двух чисел

Числа инверсий подчинены нормальному закону с параметрами:

Поскольку порядковый критерий Вилькоксона является двусторонним критерием, уровень значимости определится по формуле(с учетом приведенных выше равенств):

- функция Лапласа

b) Критерий равенства математических ожиданий:

В случае, когда исследователь располагает только объемами выборок и статистическими оценками их математических ожиданий и дисперсий, для оценки правдоподобия гипотезы о принадлежности двух выборок единой генеральной совокупности можно воспользоваться критерием равенства математических ожиданий двух независимых выборок - критерием Z:

Случайная величина Z при справедливости выдвинутой гипотезы распределена по нормальному закону с параметрами

Следовательно, так как критерий Z двусторонний, уровень значимости выдвинутой гипотезы о принадлежности двух выборок единой генеральной совокупности при наблюденном значении критерия Z определится как:

c) Критерий равенства дисперсий (Р. Фишера):

При использовании критерия равенства дисперсий двух независимых выборок задача заключается в проверке, является ли значимым различие в оценках дисперсий выборок X и Y (В этом случае в качестве критерия проверки используется статистика Р. Фишера):

- так как в качестве числителя берут большую из оценок дисперсий.

F - распределение зависит тоько от чисел степеней свободы:

Зависимость уровня значимости q от критерия F при Nx=Ny=20 (зависимость получена интерполяцией):