Элементы теории массового обслуживания, страница 6

Следовательно, математическое ожидание, дисперсия и мода числа требований в СМО вида M / M / 1 в стационарном режиме определяются, согласно формуле (40), выражениями

M[z] = r / (1–r) ; D[z] = r / (1–r)² ; Mod[z] = 0 , т.е. наиболее вероятно, что в стационарном режиме требования в СМО отсутствуют.

Определим случайную величину n – число заявок на обслуживающем приборе и случайную величину h – число заявок в очереди СМО M / M / 1 в стационарном режиме. Учитывая, что прибор свободен (т.е. n = 0), если в СМО требования отсутствуют (т.е. z = 0) и занят в противном случае, ряд распределения величины n  приведен в таблице 7.

Таблица 7 – Ряд распределения числа заявок на обслуживающем устройстве СМО M / M / 1

Следовательно, математическое ожидание числа требований на обслуживающем приборе СМО M / M / 1

M[n] = 0×(1–r)+1×r = r .                                                                    (98)

Поскольку число требований в СМО складывается из требований, находящихся в обслуживающем устройстве и в очереди (т.е. z = n+h), то по свойству 3 математического ожидания суммы произвольных величин (см. п. 1.2.6) M[z] = M[n]+M[h]. Следовательно, математическое ожидание длины очереди определяется выражением:

M[h] = r / (1–r)–r = r² / (1–r) .                                                              (99)

В стационарном режиме СМО M / M / 1 математические ожидания времени пребывания V требования в системе и времени ожидания в очереди W заявкой своего обслуживания, определяются по формулам Литтла:

M[V] = M[z] / l ; M[W] = M[h] / l .                                                        (100)

Замечание – Формулы Литтла (100) справедливы и для более общей системы G / G / n / ¥ – многоканальной СМО с ожиданием, в которой время между поступающими заявками и время обслуживания имеют произвольные (но неизменные) законы распределения.  ¨

Пример 38

Предполагая, что поток посетителей в железнодорожную билетную кассу является ППС со средним временем между приходом посетителей 3 мин, а время, необходимое кассиру на обслуживание каждого посетителя, имеет показательный закон распределения со средним значением 2 мин, определить основные характеристики стационарного режима работы данной системы массового обслуживания.

Определить также распределение вероятностей нахождения в кассе j (j ³ 0) посетителей и вероятность того, что в системе будут одновременно находиться более пяти посетителей.

Решение. Поскольку входящий поток посетителей кассы является простейшим, то величина времени x между моментами прихода посетителей имеет показательный закон распределения с параметром, равным (согласно примеру 36) интенсивности ППС и обратно пропорциональным (по выражению (46)) математическому ожиданию времени между приходом посетителей x, т.е. l = 1 / M[x] = 1 / 3 мин^–1.

Интенсивность обслуживания m равна, согласно выражению (83), параметру показательного распределения времени обслуживания посетителей t, который, согласно выражению (46), обратно пропорционален математическому ожиданию времени обслуживания M[t] , т.е. m = 1 / M[t] = 1 / 2 мин^–1.

Учитывая, что билетная касса является одноканальной системой с неограниченной длиной очереди, ее можно классифицировать как систему вида M / M / 1, а для определения основных характеристик стационарного режима работы данной СМО воспользуемся формулами (96)–(100).