Основы гидравлического расчета трубопроводных систем на ЭВМ: Методические указания к практическим занятиям по курсам “Проектирование, монтаж и испытание судовых систем” и “Производство и распределение энергоносителей промышленных предприятий”, страница 9

                                               (23)

Поскольку каждый столбец полной матрицы соединений А_а содержит необходимую информацию о концевых узлах каждой ветви и её ориентации, то последовательным скалярным умножением этих столбцов на один и тот же вектор узловых давлений Р получим соотношения (23) в компактной форме сразу для всей схемы

.                                            (24)

Математическая модель метода узловых давлений сводится к системе уравнений:

;

;                                             (25)

, которая состоит из m – 1 +2n уравнений относительно векторов , DР и m-1 значений P_i для линейно независимых узлов. Здесь также может быть исключен вектор  DР, что сократит (24) до:

;    .                              (26)

Система (26) является исходной в МД.

Метод узловых давлений в отличие от метода контурных расходов можно применять для гидравлических цепей с любой топологией. Одно из важных достоинств МД - относительная простота программы формирования уравнений гидравлической цепи с помощью ЭВМ. Матрица соединений имеет очень простой вид. Она задает связь узлов и ветвей цепи и тем самым непосредственно описывает её топологию. Действия над матрицами (транспонирование, суммирование, перемножение) легко программируются. Кроме того, в инженерных задачах узловые давления задаются часто в явном виде, что делает более удобными МД.

Вместе с тем следует отметить, что не существует каких-либо привилегированных методов, заведомо более эффективных и гарантирующих быстрое получение результата при любых возможных сочетаниях исходных данных. Каждый метод имеет свою область предпочтительного применения, не говоря уже о том, что критерии практической и вычислительной эффективности весьма разнообразны и зачастую противоположны по своим требованиям.

7. Основные методы решения и алгоритмы программ

Методы решения систем уравнений (22) и (26) можно разделить на две основные группы: вариационные и линеаризации. Последние исследования показали, что методы линеаризации требуют меньших затрат машинного времени, чем вариационные.

Базисным для МНР и МД является модифицированный метод линеаризации Ньютона (Ньютона-Рафсона) /1/, предназначенный при соблюдении условий сходимости для решения систем нелинейных уравнений самого общего вида:

                                                         (27)

где Х=[X₁, X₂, …, X_n]- вектор аргументов; F=[F₁, F₂, …, F_n]- вектор функция.

Основой метода Ньютона-Рафсона является построение ряда значений Х⁽⁰⁾, X⁽¹⁾, X^(k), …, X⁽ⁿ⁾ исходя из величины начального приближения Х⁽⁰⁾ с использованием процесса итераций, учитывающего значения F(X), а также производной F¢(X) под которой следует понимать матрицу Якоби W(X) системы функций F₁, F₂, …, F_n относительно переменных X₁, X₂, …, X_n, т.е.:

.

На каждом k - ом этапе счета система (27) заменяется системой линейных уравнений:

с неизвестным приращением DX^(k), т.е.:

.

При этом должно соблюдаться условие F¢(X)¹ 0 После нахождения  DX^(k) переменные уточняются:

подсчитываются новые значения F(X^(k+1)) и производных F¢(X^(k+1)).Далее опять решается система (27) каким-либо из методов линейной алгебры (метод Зейделя, метод окаймления и др.). Итерации прекращаются когда разность между двумя последовательными итерациями удовлетворяет заданной точности:

Метод Ньютона-Рафсона является наиболее эффективным итерационным методом решения нелинейных алгебраических уравнений. Он сходится только при определенных условиях относительно матрицы Якоби и при выборе начальной точки Х⁽⁰⁾ не слишком далеко от решения - в этом случае обеспечивается очень быстрая сходимость .

Непосредственное применение этого метода к системе уравнений (22) и (26) возможно, но, как правило, малоэффективно для гидравлических цепей большой размерности /2/. Основные причины заключаются в слишком большом размере этих систем, определяемом числом участков (ветвей) и главное в том, что матрицы систем линейных уравнений, формируемых на каждом шаге ньютоновского процесса, не имеют симметричной формы, столь предпочтительной для многократного решения этих систем. Однако специальные свойства систем уравнений гидравлической цепи, определяемые её топологической структурой, позволяют и в данном случае использовать известные в теории электрических цепей преобразования Максвелла (МКР) или Гельмгольца (МД) и получать симметричные матрицы линейных систем существенно меньших размеров по числу линейно независимых (главных) контуров n_x´n_x или узлов (m-1)´ (m-1) соответственно.