Промышленность \ Производство и распределение энергоносителей промышленных предприятий

Основы гидравлического расчета трубопроводных систем на ЭВМ: Методические указания к практическим занятиям по курсам “Проектирование, монтаж и испытание судовых систем” и “Производство и распределение энергоносителей промышленных предприятий”, страница 11

3)   Матрицы  и векторы цепи «расщепляются» на матрицы и векторы хорд (Аx, Bx, , DPx, Рнх) и дерева (Ад, Bд, , DPx, Рнх).

Если при этом нумерация участков произведена так, что первые номера присвоены хордам, т.е. , , а номера контуров и направления их обхода совпадают с номерами и ориентацией хорд, то тогда А=(Ах, Ад), а В=(Е, Вд), где Е – матрица порядка k, т – знак транспортирования.

Метод узловых давлении (МД) - аналог известного электротехнического метода узловых напряжений, сочетающего преобразования Гельмгольца к узловым : величинам с методом Ньютона. Исходной здесь является математическая модель потокораспределения  (26), опирающаяся на использование вектора узловых давлений Р.

Если в МКР процесс последовательных приближений осуществляется для расходов, то МД сводится к последовательным поправкам узловых давлений D(Р),определяемым через невязки (небалансы) расходов в узлах . Для математического описания этого процесса необходимо получить взаимосвязь двух векторов приращении -  D(Р) и .

С этой целью проведем линеаризацию уравнений (26), т. е. перейдем от исходных зависимостей к соотношениям относительно приращений основных переменных и правых частей:

;

.                                        (35)

Рассматривая теперь только такие Δ(Р)и ,  при  которых

Δ(Рm) = 0 (Pm задано) и ΔPн = 0, разрешим (35) относительно :

*= - 0,5 (S V)-1 Aт Δ(Р).

Подставим   это   в   (28)   и   получим   искомую   линейную   систему относительно (m-1) неизвестных (Δ(P1), ..., Δ(Pm-1))т = Δ(P):

Γ() Δ(P) = -2 ΔU ,                                                (36)

где

Г() = А(S V)-1 Ат

называется матрицей Гельгольца.

Основной алгоритм МД сводится к выполнению следующих операций.

1)  Задается начальное приближение для вектора (Δ(P1), ..., Δ(Pm-1))т,оно, вообще говоря, может быть произвольным.

2)  Определяются расходы , соответствующие этим узловым давлениям и заданному Рm (с помощью (24) и (20)).

3)  Подсчитываются небалансы расходов ΔUj в узлах, из них составляется вектор ΔU.

4)  Вычисляются элементы матрицы  Г(), составляется и решается система (36) для определения Δ(Р).

5)  Производится поправка вектора Р:

Р(N+1) = P(N) + Δ (P).

6)  Анализируется сходимость вычислительного процесса и п. 2-6 повторяются, если это требуется.

Матрица Г() – симметричная, однако диагональное преобладание для нее не гарантировано даже в случае плоских схем. С этим связано объяснение того, почему метод узловых давлений сходится в меньшем числе случаев, чем метод контурных расходов.

При решении задач гидравлического расчета трубопроводных систем с помощью ЭВМ в настоящее время есть возможность идти по одному из двух направлений /3/.

Первое – использовать языки программирования высокого уровня (Паскаль, С++, Фортран и т.д.). В этом случае необходимо иметь достаточно глубокие знания как по одному или нескольким языкам программирования, так и методам вычислительной математики.

Второе – использование пакетов прикладных программ (MatLab, MathCad, Derive, Mathematica и т.д.). Использование пакетов прикладных программ позволяет сосредоточить основное внимание на существе проблемы, оставляя в стороне технику классической математики, детали капризных вычислительных методов и т.д. Этот выход на новый уровень программирования порождает и новые проблемы – более подробно см. в работе /3/.

Библиографический список

1.  Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970. – 664 с.

2.  Методы и алгоритмы расчета тепловых сетей / Хасилев В.Я., Меренков А.П., Каганович Б.М. и др.; под общ. Ред. Хасилева В.Я. и Меренкова А.П. – М.: Энергия, 1978. – 176 см.

3.  Рыжиков Ю.И. Решение научно-технических задач на персональном компьютере. – СПб.: КОРОНА принт, 2000. – 272 с.

Скачать файл