Электронные измерительные системы. Цифровые вольтметры. Осциллографы. Системы сбора данных, страница 8

4.5.3 Теория квантования

Даже если предположить, что взятие выборок и аналого-цифровое преобра­зование выполняются идеально (т.е. без ошибок), то все равно нам придется иметь дело с ошибками квантования (см. раздел 3.3.6). На рис. 3.63(b) эта ошибка была показана для случая, когда входной сигнал V_A линейно нара­стает. Таким образом, ошибка квантования равна:

где  — аналоговый эквивалент двоичного выходного сигнала на выхо­де АЦП. Так как двоичное слово D = (а_nа_n-1...а₀) содержит n +1 битов, наи­меньшее приращение равно:

Аналого-цифровой преобразователь на рис. 3.63 вносит так называемую «ошибку округления». При таком квантовании максимально возможная ошиб­ка определяется неравенствами:

Следовательно, максимальная ошибка квантования при округлении рав­на плюс или минус половине значения единицы в младшем разряде. При усечении ошибка квантования лежит в пределах

Объединяя все эффекты квантования на пути следования сигнала в сис­теме сбора данных, мы можем представить их как результат действия одного блока, назвав его «устройством квантования». Приведенными выше соотно­шениями описывается нелинейная модель такого устройства квантования как в случае округления, так и при усечении. На рис. 4.17 мы снова обратим­ся к ошибкам, возникающим при округлении. При таком подходе мы стал­киваемся с проблемой, состоящей в том, что нелинейность трудно описать аналитически. Поэтому часто пользуются стохастической моделью, пред­ставленной на рис. 4.17(d). Согласно этой модели устройство квантования содержит источник аддитивного шума квантования; выходной сигнал равен сумме входного сигнала V_A и шума квантования V_N. Шум квантования имеет плотность распределения вероятностей f(Q), изображенную на рис. 4.17(е). Считается, что Q равновероятно принимает все значения между + V₀ / 2 и – V₀ /2; распределение вероятностей является равномерным. Среднее значение  равно нулю, а дисперсия  определяется соотношением:

и равна

Таким образом, среднеквадратическое значение (стандартное отклоне­ние) V_N добавляемого шумового сигнала равно:

Отношение сигнал/шум (SNR), как следствие ошибки квантования, в случае синусоидального сигнала с пиковым значением  равно

Это соотношение иллюстрируется графиком на рис. 4.18, где отношение сигнал/шум SNR указано в логарифмическом масштабе (в дБ). Из графика ясно видно, насколько важно подавать на вход АЦП возможно больший сигнал (наибольший, при котором еще не происходит ограничения). Мы видим также, что при увеличении разрешающей способности АЦП на 1 бит значение SNR растет на 6 дБ.

Шум квантования в АЦП не является единственным источником оши­бок квантования в системе сбора данных. Цифровой процессор обрабатыва­ет сигнал, оперируя только со словами конечной длины. Из-за этого также возникают ошибки квантования (которые становятся совсем большими, когда применяется процессор «с фиксированной запятой»). Это легче всего проде­монстрировать на примере простого цифрового перемножения. Цифровой входной сигнал D₁ поступает на вход процессора от АЦП с ошибкой кван­тования Q₁ (со стандартным отклонением ). В процессоре этот сигнал ум­ножается на число D₂, которое получено в результате вычислений и потому также представляется словом конечной длины. Это число содержит ошибку квантования Q₂ (со стандартным отклонением ). В результате перемноже­ния получаем число D₃:

Если предположить, что два источника шума квантования не коррели­рованны ни друг с другом, ни с самими сигналами D₁ и D₂, то по гауссовому правилу распространения ошибок (см. раздел 2.3.2) находим:

Пренебрегая малыми членами, получим:   

298   Электронные измерительные системы