Статистическая оценка неизвестных параметров распределения

Курс лекций по дисциплине «ТВиМС»

Лекция №4                    (лекция №13 в общем потоке)

План:

·  Предисловие;

·  Постановка задачи оценки неизвестных параметров распределения и числовых характеристик случайных величин;

·  Точечные и интервальные оценки параметров распределения;

·  Свойства точечных оценок;

·  Нахождение интервальных оценок параметров распределения и числовых характеристик СВ;

·  Послесловие.

Предисловие

На прошлой лекции познакомились с предметом МС, сутью выборочного метода, методикой построения статистического закона распределения случайных величин, построением эмпирической функции распределения. В конце лекции мы рассмотрели три важных распределения случайных величин, которые часто используются в статистике. Это распределение c², распределение Стьюдента и распределение Фишера.

На сегодняшней лекции познакомимся с методами оценки параметров распределения и числовых характеристик случайных величин по выборке.

Постановка задачи оценивания параметров распределения и числовых характеристик случайных величин по выборке

Случайные величины наряду с законом распределения характеризуются числовыми характеристиками, поэтому наряду с нахождением статистического закона распределения встает задача оценки по выборке числовых характеристик. Кроме того, часто на практике найденный закон распределения пытаются аппроксимировать одним из типовых законов, таких как, биномиальный, пуассоновский и геометрический (для дискретных случайных величин); равномерный, показательный и нормальный (для непрерывных случайных величин). В этом случае необходима оценка по выборке параметров предполагаемого распределения. Так, случайная величина, имеющая биномиальный закон распределения характеризуется числом испытаний Бернулли и вероятностью «успеха»; случайная величина, имеющая геометрическое распределение, характеризуется только вероятностью «успеха» в испытаниях Бернулли; случайная величина, имеющая равномерное распределение, характеризуется минимальным и максимальным возможными значениями; случайная величина, имеющая нормальный закон распределения, характеризуется математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением.

Теоретически задача оценивания неизвестного параметра  распределения случайной величины x состоит в построении приближенной функции V от элементов выборки x₁, x₂,…x_n:

»V(x₁, x₂,…x_n),

которую называют выборочной функцией или выборочной статистикой, а её значение

=V(x₁, x₂,…x_n)

называют оценкой параметра .

Поскольку выборка всегда является ограниченной и случайной, то все значения выборочных функций, т.е. оценки, сами являются случайными величинами, поскольку для различных выборок одной и той же случайной величины оценка некоторого параметра может принимать различные значения. Например, в лабораторной работе №1 предлагается оценивать математическое ожидание исследуемой случайной величины по формуле среднего арифметического. Очевидно, что если в исходную выборку добавить несколько новых значений, то оценка математического ожидания изменится.

Из сказанного становится логичным разделение оценок на точечные, которые характеризуют оцениваемый параметр  одним числом =V(x₁, x₂,…x_n) и интервальные, когда оценка определяется двумя числами ₁ и ₂ – концами интервала (₁ , ₂), который накрывает значение оцениваемого параметра с заданной вероятностью.

Теперь подробнее о точечных и интервальных оценках.

Точечные оценки числовых характеристик и параметров распределения случайных величин. Классификация точечных оценок

Точечная оценка  параметра распределения  (числовой характеристики) случайной величины x определяется одним числом =V(x₁, x₂,…x_n).

Естественно, что не каждую функцию V(x₁, x₂,…x_n) можно использовать в качестве оценочной функции неизвестного параметра . Чтобы точечная оценка неизвестного параметра =V(x₁, x₂,…x_n) была “хорошей” в смысле точности и надёжности (была довольно близкой к оцениваемому параметру и ей можно было бы доверять) желательно, чтобы найденная по выборке оценка  была близка к значению оцениваемого параметра. А при многократном воспроизведении экспериментов оценка , полученная по различным выборкам случайной величины x были тесно сконцентрированы около значения оцениваемого параметра и при этом имели малое рассеяние.