Числовые характеристики случайных величин

Глава 3. Числовые характеристики случайных величин

Рассмотренные выше функция распределения, плотность вероятности и характеристическая функция дают наиболее полное представление о СВ. Однако, являясь функцией одной или нескольких переменных, для многомерных СВ, они представляют собой достаточно сложные объекты. В многих случаях достаточно бывает использовать для описания СВ совокупность чисел, называемых числовыми характеристиками СВ. Познакомимся с этими числовыми характеристиками.

3.1. Моменты случайной величины

Под начальными моментами СВ  понимают величины , среди которых особую роль играет , называемый математическим ожиданием или средним значением СВ . Моменты СВ  существуют  тогда и только тогда, когда , =1,2,… Часто для записи математического ожидания используют символ статистического усреднения, обозначаемый как , или просто прямой чертой сверху, т.е. , или . Для дискретных СВ, задаваемых распределением (), =1,2,…,, математическое ожидание равно , если записанный ряд сходится абсолютно. При использовании аппарата дельта-функций для дискретных СВ можно пользоваться интегральной формой записи математического ожидания

= =.

Математическое ожидание  является точкой концентрации значений СВ в том смысле, что среднеквадратический разброс значений СВ относительно  минимален. Смысл понятия среднеквадратический разброс будет уточнен ниже.

Являясь абсциссой центра тяжести плоской фигуры, ограниченной осью абсцисс и кривой , математическое ожидание характеризует положение ПВ относительно оси ординат. Часто бывает полезно представление  с помощью ФР  .

Можно показать [1,3,4,5], что =-, т.е. математическое ожидание равно разности площадей, заключенных между осью ординат, прямой =1 и кривой = в интервале () и между осью абсцисс, кривой = и осью ординат в интервале (). На рис. 12 указанные площади заштрихованы и отмечен знак, с которым нужно взять соответствующие площади.

Условное математическое ожидание.Пусть дана условная ПВ . Условным математическим ожиданием СВ , относительно значения  СВ , относительно события {=}, называется выражение вида . Зависимость  от  определяет кривую регрессии  на . При этом переменную , называют регрессионной переменной или регрессором, а  - откликом.

Математическое ожидание может быть определено и для функций СВ , если только существует интеграл , т.е. .

Для векторных и матричных СВ (компоненты вектора и элементы матрицы есть СВ) математическое ожидание определяется как вектор или матрица, в которых СВ заменены своими средними значениями, т.е. , где

.

Аналогично определяется математическое ожидание случайной матрицы. Читателю предлагается проверить справедливость приведенной формулы для .

Наряду с начальными моментами , для характеристики СВ используют центральные моменты =. Важнейшим центральным моментом является , называемый дисперсией СВ  и обозначаемый обычно как . Корень из дисперсии  называют среднеквадратическим отклонением (значением) СВ . В качестве упражнения рекомендуем доказать, что если существует , то =0.

Теперь мы можем вернуться к утверждению, что СВ имеет минимальный среднеквадратический разброс относительно математического ожидания . Запишем средний квадрат отклонения СВ  от некоторого значения  =. Раскрывая скобки и используя обозначения начальных моментов, будем иметь =-2+. Исследуя данную функцию  на экстремум, получим =0, откуда следует, что =. Вторая производная  равна 2>0 и, следовательно, = соответствует минимуму . Само минимальное значение = равно дисперсии .

Рассмотрим свойства математического ожидания и дисперсии.

1. Математическое ожидание постоянной (детерминированной величины) равно ей самой, а дисперсия равна нулю.

Так как для детерминированной СВ , где  - значение этой величины, то  и .

2. Математическое ожидание суммы любых (зависимых и независимых) СВ равно сумме математических ожиданий, т.к. ==+. Выполняя внутреннее интегрирование в первом слагаемом по , а во втором по , получим

=+=.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. =, т.к.

===.

4. С учетом свойств 2 и 3 можно утверждать, что математическое ожидание линейной комбинации СВ  равно линейной комбинации с теми же коэффициентами  математических ожиданий , т.е. =. Таким образом, для оператора математического ожидания (статистического усреднения) справедлив принцип суперпозиции, т.е. это – линейный оператор (функционал).

5. Математическое ожидание произведения независимых СВ равно произведению их математических ожиданий, т.е. ===, т.к. переменные в последнем двойном интеграле разделяются.

6. Дисперсия суммы или разности независимых СВ равна сумме их дисперсий. Для суммы или разности независимых СВ  и  дисперсия равна  =  =

.

Возводя в квадрат и используя введенные обозначения, будем иметь =+±2=+, где  - равные нулю первые центральные моменты СВ  и . Надеемся, что к этому времени читатель в этом убедился. Позже мы узнаем, что для справедливости данного результата достаточно некоррелированности СВ  и .