Числовые характеристики случайных величин, страница 2

7. Дисперсия произведения постоянной величины  на СВ  равна . Доказательство этого утверждения тривиально и предоставляется читателю.

8. Дисперсия линейной комбинации  попарно независимых СВ  равна . Рекомендуем доказать это утверждение самим. Чему равна дисперсия суммы или разности зависимых СВ, мы определим позднее.

Совершенно аналогично можно определить моменты (начальные и центральные) для функции  СВ , т.е. == и == при условии, что .

Между центральными и начальными моментами существует очевидная связь, определяемая формулой =. Используя обозначения  это выражение можно переписать в виде

=.

Запишем эту связь для первых четырех центральных моментов, играющих особо важную роль в теории вероятностей и статистике.

=0, ,  и . На практике обычно используют нормированные моменты , называемый асимметрией, и , именуемый эксцессом.

Асимметрия характеризует несимметричность ПВ относительно математического ожидания, рис. 13.

Рис. 13

Эксцесс  характеризует удельный вес больших отклонений от математического ожидания или, как говорят в статистике, «тяжесть хвостов» ПВ. Чаще вместо  используют коэффициент =-3, который позволяет сравнивать данную ПВ с гауссовской, для которой =3. Иллюстрация этой зависимости представлена на рис. 14, заимствованном из [18].

Рис. 14

3.2 Квантили

Моменты СВ являются удобным способом описания СВ, если они существуют. Однако СВ может и не иметь моментов. Например, весьма важные для приложений распределение Коши = не имеет моментов, т.к. интеграл  расходится при любых =1,2,…

Кроме того, при экспериментальном определении (оценке) моменты оказываются весьма чувствительными к засорению выборки, т.е. появлению в наблюдаемой совокупности чисел, значений другой СВ, обычно сильно отличающихся по своим свойствам от изучаемой СВ (аномальные ошибки). В этих условиях полезным оказывается использование квантилей, к определению которых мы и переходим.

Определение. Квантильей -ого порядка, или -квантилью, называют корень уравнения =, обозначаемый как . При использовании ПВ  определяется из условия =.

При = квантиль называют медианой и обозначают =. Медиана определяет точку на оси , которая делит значения СВ на две равновероятные половины. Кроме медианы, используют  и , которые называются квартилями. В качестве характеристики разброса СВ часто принимается интерквартильный размах или срединное отклонение СВ, равное .

Полезной характеристикой распределения является мода – абсцисса локального максимума ПВ. По числу мод распределения делятся на унимодальные и полимодальные. Абсцисса глобального максимума называется наивероятнейшим значением СВ.

3.3 Числовые характеристики совокупности случайных величин. Корреляционные моменты

По аналогии с моментами одномерной СВ  для характеристики совокупности СВ, случайного вектора =, могут быть использованы начальные  и центральные  моменты, определяемые как  =  =

и  =  =

,

где  - неотрицательные целые числа. Порядком момента называют величину .

Если все показатели степени , за исключением одного  равны нулю, то приведенные выражения дадут моменты  и  для СВ . При отличных от нуля двух показателях степени  и  мы получим характеристику статистической связи СВ  и :

=.

При ==1 мы приходим к понятию ковариации СВ  и , характеризующему меру линейной связи между СВ  и :

 =  = =.

Чтобы исключить зависимость ковариации от величины разброса СВ  и  относительно средних значений, ее нормируют относительно их среднеквадратических значений  и , т.е. переходят к безразмерному отношению

=,

называемому коэффициентом корреляции. Если коэффициент корреляции  равен нулю, то СВ  и  называют некоррелированными или ортогональными, т.к. двойной интеграл  можно рассматривать как скалярное произведение функций = и =, в чем легко убедиться, используя аксиомы скалярного произведения. Тогда, используя неравенство Коши-Буняковского, получаем, что , причем знак равенства  имеет место, если только =, или если =, что означает линейную связь между СВ  и . При этом =, где sign – знаковая функция.