Числовые характеристики случайных величин, страница 7

,

где . Поэтому становится ясным, почему распределение суммы независимых СВ, подчиняющихся распределению Коши, не имеющему моментов, не стремятся к нормальному закону.

Как и распределение Коши, нормальное распределение является устойчивым: распределение суммы независимых нормальных СВ будет нормальным с математическим ожиданием и дисперсией, равными сумме математических ожиданий и дисперсий слагаемых соответственно. Позже мы убедимся в том, что СВ будет гауссовской и для зависимых слагаемых.

Для знакомства с распределениями, связанными с нормальным, нам потребуется информация о двумерном нормальном законе, распределении двумерного нормального случайного вектора .

В соответствии с общей формой записи многомерного нормального распределения

.

Элементы  квадратичной формы определяются обратной корреляционной матрицей , где  - симметричная и положительно определенная. Дисперсия СВ обычно обозначается как , поэтому корреляционная матрица имеет вид

,

где  - коэффициент корреляции, а

.

Константа  определяется из условия нормировки и равна =. Окончательное выражение для двумерного нормального распределения имеет вид

, где

= и = - математические ожидания СВ  и ,  и  - их дисперсии, а  - коэффициент взаимной корреляции.

Найдем ПВ суммы двух нормальных СВ . В соответствии с полученными выше результатами

Выполнив элементарные преобразования и интегрирование по u, получим окончательно

,

где  - математическое ожидание суммы СВ x₁ и x₂ , а  - её (суммы) дисперсия. Таким образом в общем случае, распределение суммы двух нормальных СВ есть нормальная СВ. Этот результат справедлив и для произвольного числа слагаемых.

Мы уже отмечали, что зная многомерную ПВ , можно найти ПВ подмножества СВ  проинтегрировав  по «лишним» переменным. Для двумерного случая это даст

Воспользуемся этой формулой в нашем случае

Учитывая, что под знаком интеграла по  стоит гауссовская ПВ с математическим ожиданием  и дисперсией , с учетом условия нормировки получим окончательно

Таким образом, если случайные величины являются совместно нормальными, то каждая из них будет также нормальной. Обратное утверждение в общем случае несправедливо. Гауссовы СВ могут образовывать негауссову совокупность [3].

Пользуясь полученными результатами, легко найти условную ПВ нормальной СВ

(это выражение обычно рассматривают как определение условной ПВ). Подставляя в эту формулу выражение для  и

,

 после несложных преобразований будем иметь

Таким образом, условная гауссовская ПВ также является гауссовской с условным математическим ожиданием  и условной дисперсией . Из приведенных выражений видно, что для гауссовских СВ кривая регрессии  на  есть прямая. При  условная ПВ стремится к , что совершенно естественно, так как при  СВ  и  связаны линейной зависимостью . При  условная ПВ  переходит в безусловную

,

что свидетельствует о независимости СВ  и . Это свойство сохраняется и для многомерных нормальных СВ, т.е. если нормальные СВ некоррелированы, то они и независимы. На рис. 17 приведено семейство условных ПВ  для различных значений коэффициента корреляции  и == 0, == 1.

Рассмотрим область на плоскости , , для которой , где , а  - максимальное значение двумерного нормального распределения,  Границей этой области будет эллипс

где , приведенный на рис. 18.

Центр этого эллипса расположен в точке , а полуоси наклонены по отношению к координатным осям ,  на угол  при  и  при . При  и  эллипс переходит в окружность.

Если перейти от СВ  и  к СВ ,  с помощью линейного преобразования

,

что соответствует применению оператора поворота на угол a к случайному вектору  и переносу начала координат в точку , то СВ  и , оставаясь нормальными, будут некоррелированы, а, следовательно, и независимы.

Таким образом, с помощью линейного преобразования коррелированные нормальные СВ могут быть преобразованы в некоррелированные СВ.