Числовые характеристики случайных величин, страница 5

=, =0,1,2,…

Это распределение и называется распределением Пуассона. Убедимся в том, что для записанного распределения выполняется условие нормировки

.

Характеристическая функция для распределения Пуассона может быть найдена путем подстановки в ХФ биномиального распределения  и предельного перехода с учетом того, что . В результате

.

Математическое ожидание СВ, описываемой распределением Пуассона, равно  =  = . Учитывая, что , ряд в выражении для  есть  и поэтому =. С помощью аналогичного приема можно показать, что ==, и следовательно, =-=, т.е. пуассоновская СВ имеет одинаковые математическое ожидание и дисперсию, равные .

Асимметрия и коэффициент эксцесса распределения Пуассона равны соответственно  и . С ростом  распределение Пуассона может быть аппроксимировано нормальным и при больших  можно пользоваться приближенным выражением

,

где  - интеграл вероятности.

3.5.5. Распределения, связанные с равномерным

В начале главы была рассмотрена СВ, все значения которой в интервале  равновероятны. ПВ такой величины  имеет вид

.

Характеристическая функция равномерного распределения равна

а для среднего значения и дисперсии справедливы соотношения

== и ==.

Асимметрия распределения равна 0, коэффициент эксцесса .

С равномерным распределением приходится сталкиваться при изучении ошибок квантования (переход от непрерывного представления величины к дискретному, от аналогового сигнала к цифровому), при описании случайной начальной фазы гармонического колебания и во многих других случаях.

3.5.5.1. Рассмотрим задачу определения ПВ случайной величины =, где  - независимые СВ, каждая из которых подчиняется равномерному распределению на промежутке . Эта задача может быть решена либо последовательным применением свертки, либо с использованием ХФ. При большом числе слагаемых второй способ более предпочтителен. При =2, используя свертку двух одинаковых равномерных распределений, будем иметь

а ХФ

.

Полученное распределение по понятным причинам называется треугольным, или распределением Симпсона. Для определения среднего и дисперсии можно воспользоваться их свойствами, рассмотренными выше.

Так, математическое ожидание будет равно сумме математических ожиданий слагаемых, т.е. =+=. Дисперсия в силу независимости слагаемых также равна сумме дисперсий слагаемых =+=. Асимметрия распределения равна нулю, а коэффициент эксцесса . С ростом числа слагаемых  распределение суммы будет достаточно быстро стремиться к нормальному закону

.

Рис. 15

Это часто используют при моделировании нормальной СВ. Нужно, однако, помнить, что в отличие от гауссовской, рассматриваемая СВ принимает значения в конечном интервале . На рис. 15 приведены графики равномерного распределения (а) и ПВ суммы равномерно распределенных СВ при =2, 3 (б, в) и . Там же пунктирной линией (для =3) приведен график аппроксимирующего нормального распределения (г).

3.5.5.2. Закон арксинуса.

Часто приходится рассматривать СВ =, где  - СВ, распределенная равномерно в интервале .

Пользуясь правилами функционального преобразования СВ, можно показать, что

Функция распределения при этом будет равна

что и определяет название распределения.

Характеристическая функция для закона арксинуса

.

Выполняя замену переменной , приходим к интегралу Парсеваля

.

Следовательно, .

Математическое ожидание равно нулю, а для вычисления дисперсии удобно воспользоваться формулой

===.

3.5.5.3. Распределение Коши.

Распределение Коши встречается при решении следующей вероятностной задачи. Пусть из начала координат проведен под случайным углом , равномерно распределенном в интервале , отрезок, пересекающий прямую  в случайной точке (,), рис. 17.

Требуется найти ПВ случайной величины . Случайные величины  и  связаны очевидным соотношением  или . Пользуясь правилами преобразования СВ и учитывая, что  при =, а , получим окончательно .