Вопросы ко второму теоретическому зачету по курсу "Математический аппарат радиотехники"

Вопросы ко второму теоретическому зачету (рейтинговое задание №5)

Используемые сокращения:

СВ – случайная величина; СП – случайный процесс; ПВ – плотность вероятности; ФР – функция распределения; КФ – корреляционная функция.

1.  Что такое случайная величина? Какие случайные величины называются дискретными, а какие – непрерывными? Что такое СВ смешанного типа (дискретно-непрерывная)? Какой вид имеют в общем случае ПВ и ФР этих случайных величин?

2.  Что такое функция распределения СВ? Как она связана с плотностью вероятности СВ? Какие свойства функции распределения вам известны?

3.  Что такое плотность вероятности СВ? Как связаны между собой функция распределения и плотность вероятности случайной величины? Какие свойства плотности вероятности вам известны?

4.  Что такое характеристическая функция СВ? Как она связана с плотностью вероятности? Может ли ХФ некоторой СВ иметь форму прямоугольника?

5.  Перечислите основные свойства характеристической функции. Может ли она быть чисто мнимой функцией?

6.  Как определяются начальные моменты распределения дискретных и непрерывных СВ? Какие начальные моменты чаще всего используются на практике? Что они характеризуют?

7.  Как определяются центральные моменты распределения дискретных и непрерывных СВ? Какие центральные моменты чаще всего используются на практике? Что они характеризуют?

8.  Какова размерность плотности вероятности, функции распределения, математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения, k-го начального момента распределения, k-го центрального момента распределения случайной величины?

9.  Доказать, что первый  центральный момент распределения СВ всегда равен нулю.

10.Доказать утверждение: .

11.Доказать утверждение: .

12.К случайной величине добавили детерминированную константу А. Как изменились плотность вероятности; функция распределения; характеристическая функция; среднее; дисперсия; среднеквадратичное отклонение?

13.Случайную величину умножили на детерминированную константу А. Как изменились плотность вероятности; функция распределения; распределения; характеристическая функция; среднее; дисперсия; среднеквадратичное отклонение?

14.Как, зная ФР некоторой случайной величины, определить вероятность попадания этой СВ в заданный интервал? Как, зная ПВ некоторой случайной величины, определить вероятность попадания этой СВ в заданный интервал Dх? Конкретизируйте ответ, если Dх ® 0.

15.Может ли случайная величина иметь второй начальный момент, равный 9 при математическом ожидании 3,1?

16.Что такое р-квантиль? Как найти р-квантиль через ФР и ПВ? Что такое медиана? При каком условии медиана и математическое ожидание совпадают?

17.Что называется модой распределения случайной величины? Какие распределения называются унимодальными, какие - полимодальными? Привести примеры.

18.Как определить плотность вероятности случайной величины Y, связанной со случайной величиной X соотношением Y = f(X), если плотность вероятности величины X известна, и существует обратная функция X = j(Y)? Как выглядит результат, если обратная функция многозначна, например, ?

19.Как в общем случае решается задача отыскания ПВ совокупности функционально преобразованных СВ?

20.Как определяется совместная функция распределения совокупности случайных величин? Какие ее свойства вам известны? Как определяется совместная плотность вероятности совокупности случайных величин? Какие ее свойства вам известны?

21.Как определяется ХФ совокупности случайных величин?

22. Доказать, что характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых.

23.В чем состоит условие согласованности высших и низших ФР и ПВ?

24.Можно ли, зная  и , найти совместную плотность вероятности величин x и h?

25.В каком случае СВ являются независимыми? Как записываются совместные ФР и ПВ для совокупности независимых СВ? Как записываются ХФ для совокупности двух независимых СВ?

26.Чему равно математическое ожидание суммы СВ? Ответ аргументировать.

27.Чему равно математическое ожидание произведения независимых СВ? Ответ аргументировать.

28.Чему равно математическое ожидание линейной комбинации попарно независимых СВ? Ответ аргументировать.

29.Как определяются дисперсии суммы и разности двух независимых СВ? Ответ аргументировать.

30.  Чему равна дисперсия линейной комбинации попарно независимых СВ? Ответ аргументировать.

31.Как определяются смешанные центральные моменты распределения для совокупности дискретных и непрерывных СВ? Что такое ковариация случайных величин X и Y? Что она показывает?

32.Что такое коэффициент корреляции? Какие значения он может принимать?

Что означает  r = –1; 0; 1? Какие случайные величины называются ортогональными?

33.Доказать, что  независимые СВ некоррелированы.

34.Всегда ли независимые случайные величины являются некоррелированными? Всегда ли некоррелированные случайные величины являются независимыми?

35.Приведите примеры известных вам законов распределения СВ (не менее трех).