Предмет геофизической гидродинамики. Уравнения движения. Основные упрощающие приближения, страница 4

.                                       (2.8)

В этом случае вторым членом в левой части (2.6) также пренебрегают, и уравнение притока тепла записывается в виде

,

где  - коэффициент температуропроводности. С учетом соотношения (2.8) в последнем уравнении температуру можно заменить плотностью, что приводит к уравнению

.                                          (2.9)

Важно отметить, что уравнения (2.2) и (2.9) представляют собой два разных физических закона: первое уравнение выражает закон сохранения массы, второе выражает закон сохранения внутренней энергии.

2.2. Уравнения движения во вращающейся системе координат.

Мы вывели систему уравнений в инерциальной системе координат, с наблюдателем, находящимся вне вращающейся системы координат. Это является наиболее полным описанием перемещение частицы в пространстве. Однако, часть этого движения не является определяющей для движений на вращающейся планете.   Поэтому наиболее естественной является система координат вращающаяся с угловой скоростью  ( - вектор угловой скорости вращения Земли).

Рис. 2.1.

Рассмотрим постоянный вектор , который вращается с угловой скоростью . Угол между векторами  и  равен . За малое время  вектор  повернется на угол . За этот период вреени изменение  равно (Рис. 2.1)

,

где  - единичный вектор в направлении изменения , который перпендикулярен векторам   и . Тогда вектор  можно представить в виде нормированного векторного произведения

.

Переходя к пределу при  приходим к дифференциальному соотношению

.

Для модуля векторного произведения справедлива формула

.

Тогда окончательно для фиксированного вектора  в невращающейся системе координат имеем выражение

.                                                (2.10)

Рассмотрим далее произвольный вектор  в системе координат, вращающейся с угловой скоростью . Предположим, что эта система координат декартова с единичными ортами . Тогда вектор  может быть представлен в виде

,

где . Скорость изменения вектора  со временем для наблюдателя, находящегося во вращающейся системе отсчета, есть

,

где индекс  означает скорость изменения во вращающейся системе отсчета. В неподвижной системе отсчета и компоненты вектора , и единичные орты меняются со временем. Скорости изменения скалярных компонент  одинаковы в обеих системах отсчета, следовательно,

,                                 (2.11)

где индекс  означает скорость изменения для наблюдателя в неподвижной (инерциальной) системе отсчета. Применение (2.10) к каждому из трех единичных векторов дает

,

так что (2.11) принимает вид

.                                         (2.12)

Рассмотрим далее  - радиус-вектор некоторой жидкой частицы. В соответствии с формулой (2.12), скорость изменения вектора в инерциальной системе координат имеет вид

. 

Поскольку изменения радиус-вектора со временем есть скорость  , то получаем

,                                               (2.13)

где  называется относительной скоростью. Применяя (2.12) к , имеем

.                                     (2.14)

Так как нам необходимо описать движение, используя лишь величины, наблюдаемые во вращающейся системе отсчета, перепишем (2.14), исключив из него  при помощи (2.13),

              (2.15)

Таким образом, изменения, происходящие при переходе от невращающейся к вращающейся системе отсчета, определяется суммой трех членов в правой части (2.15). Это ускорение Кориолиса  , центростремительное ускорение  и ускорение, обусловленное изменениями самой скорости вращения.

Последнее из этих слагаемых изучаемых процессов можно не учитывать, считая   постоянной.

Центростремительное ускорение может быть выражено через потенциальную функцию

,

где

Теперь центростремительная сила может быть включена в общий потенциал .

Необходимо отметить, что хотяполная производная скалярной величины одна и та же в обеих системах отсчета, отдельные ее компоненты не инварианты. В частности, для любой скалярной величины  можно показать, что