Электродинамика в релятивистских обозначениях

                                                                                           Лекция 15

Электродинамика в релятивистских обозначениях

15.1.   Релятивистская механика в четырехмерных обозначениях

              Принцип относительности сводится к утверждению о том, что во всех инерциальных системах все физические явления (а следовательно - и вообще все явления природы) протекали одинаково. В свою очередь это означает, что  описывающие законы физики уравнения должны быть инвариантными относительно преобразований координат, соответствующих переходам из одной инерциальной системы в другую.

Из-за релятивистского эффекта лоренцева сокращения длин движущихся отрезков (8.1) обычные трехмерные векторы оказываются непригодными для инвариантного описания (например, квадрат их длины изменяется при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую). Простейшим выходом из создавшегося положения является переход к описанию законов физики с помощью четырехкомпонентных векторов (черырехвекторов), компоненты которых при переходе в движущуюся инерциальную систему отсчета изменяются в соответствии с установленными Лоренцем преобразованиями (15.1). Простейшим (и основным для построения теории) четырехвектором является совокупность из четырех скалярных величин: произведения времени на скорость света и трех компонент классического радиуса-вектора.

Для четырехвекторов устанавливаются обычные правила сложения и умножения на число (указанные операции, как и в случае трехмерных векторов проводятся покомпонентно)  и несколько отличное от принятого для трехмерных векторов правило вычисления скалярного произведения (15.2). Именно такое определение скалярного произведения двух четырехвекторов делает его инвариантным относительно преобразований Лоренца и, следовательно, обеспечивает неизменность длины четырехвектора при переходе в произвольную инерциальную систему отсчета.

              Дифференцирование четырехвектора по времени портит его трансформационное свойства из-за того, что сам бесконечно малый интервал времени d t изменяется при переходы в другую систему отсчета в соответствии с релятивистским эффектом замедления времени (8.1). Для того, чтобы производная по времени от четырехвектора оказывалась вновь четырехвектором, необходимо использование операции инвариантного дифференцирования, по существу сводящуюся к дифференцированию по промежутку собственного времени, т.е. интервалу длительности, измеряемому часами, установленными в рассматриваемой системе отсчета (15.3).

              Используя операцию инвариантного дифференцирования, легко ввести четырехвектор скорости, произведение которого на инвариантную массу покоя дает новый четырехвектор, который следует назвать четырехвектором импульса (15.4). Трем пространственным составляющим последнего четырехвектора формально можно придать форму, совпадающую с классическим импульсом, если ввести релятивистскую массу, увеличивающуюся по мере разгона частицы. Непосредственным вычислением нетрудно убедиться, что квадраты введенных четырехвекторов действительно оказываются инвариантами.

              Для выяснения физического смысла "нулевой компоненты" четырехвектора импульса удобно рассмотреть ее приближенное выражение в нерелятивистском случае. Второе слагаемое в разложении в ряд Тейлора с точностью до постоянного множителя (скорости света) совпадает с классическим выражением для кинетической энергии тела (15.5). Полученный результат указывает на то, что и порождаемое первым членом разложения в ряд Тейлора величина m₀ c² так же может рассматриваться как часть энергии свободного тела, обусловленной только тем, что это тело обладает массой покоя. Интересным является тот факт, что практически всегда превышающая кинетическую энергию тела энергия покоя "оставалась незамеченной" в течении весьма длинного промежутка времени - всего развития классической физики. Сформулированное на основании релятивистского рассмотрения механики предположение о существовании у тел энергии покоя впоследствии получило блестящее экспериментальное подтверждение в ходе изучения ядерных реакций, при которых суммарные массы исходных и конечных продуктов отличались друг от друга (реакции деления и ядерного синтеза). Т.о. "временная компонента"  четырехвектора импульса представляет собой отношение энергии тела к скорости света.