Электромагнитное поле равномерно движущегося заряда

Лекция 8

Электромагнитное поле равномерно движущегося заряда

6.1.   Инвариантность электрического заряда

              Задачи расчета взаимодействий между равномерно движущимися электрическими зарядами могут быть сведены к электростатическим в результате перехода к системе отсчета, относительно которой рассматриваемый заряд покоится. Корректное преобразование физических величин при таких переходах должно осуществляться с учетом требований специальной теории относительности. Преобразование длин отрезков и временных интервалов осуществляется при помощи хорошо известных соотношений (6.1), являющихся следствием преобразований Лоренца. В приведенных соотношениях и далее индексом “0” помечаются величины, регистрируемые неподвижным относительно рассматриваемой физической системы наблюдателем, штрихом – наблюдателем, движущемся относительно этой системы. Релятивистские соотношения для преобразований продольной и поперечной составляющих трехмерных сил (6.2) могут быть легко выведены из законов замедления времени и сокращения длин отрезков (6.1), например, для частного случая торможения тела силами сухого трения.

              При решении задач о взаимодействии между движущимися зарядами для осуществления переходов от одной инерциальной системе к другой помимо правил преобразований механических величин необходим закон преобразования электрического заряда. Вид закона преобразования заряда существенно зависит от того, каким образом определяется его величина. Систему определений желательно вводить таким образом, чтобы построенная на них теория имела наиболее простой и элегантный вид. Сказанное полностью касается проблемы определения величины движущегося заряда.

              Величина заряда в электростатике была определена на основании выражения для силы взаимодействия между одинаковыми покоящимися заряженными частицами. При этом подразумевалось, что электростатическое взаимодействие определяется только свойствами частиц и расстоянием между ними, но не зависит от пространственной ориентации рассматриваемой пары зарядов. В случае движения измеряемого заряда в пространстве появляется выделенное направление, задаваемое его скоростью, и первоначальное предположение об изотропном характере взаимодействия становится необоснованным.

              Удобно использовать следующую процедуру определения величины движущегося заряда, находящегося в заданной точке его траектории (рис. 8.1). Точка, в которой будет выполняться измерение, предварительно окружается неподвижной сферой единичного радиуса, на поверхности которой располагаются единичные заряды (понятие величины покоящегося заряда  было введено в электростатике). В момент прохождения измеряемого заряда через центр неподвижной сферы (с точки зрения всех неподвижных наблюдателей, находящихся у единичных зарядов это событие происходит в один и тот же момент времени) измеряются нормальные к поверхности сферы составляющие силы, действующие на все пробные заряды (т.е. нормальные компоненты электрического поля). Величиной движущегося заряда, по определению, будем называть среднее по поверхности сферы значение нормальной составляющей создаваемого им поля (6.3). По сути дела такое определение в частном случае покоящегося заряда согласуется с доказанной в электростатике теоремой Гаусса о потоке вектора Е через сферическую поверхность и, следовательно, с прежним определением величины покоящегося заряда.

              Опыт показывает, что величина движущегося заряда, определенная таким образом, оказывается не зависящей от формы гауссовой поверхности и от скорости движения самого заряда. О последнем из указанных свойств говорят как о релятивистской инвариантности электрического заряда.

8.2.   Поле движущегося заряда

          Соотношения, связывающие электрическое поле, создаваемое равномерно движущимся распределением зарядов с полем аналогичного статического распределения, могут быть легко получены для частного случая равномерно заряженной бесконечной плоскости. В случае неподвижной плоскости единственно возможным из соображений симметрии направлением для вектора E является нормаль. Кроме того, соображения симметрии приводят к выводу об одинаковости величины напряженности поля во всех точках пространства, равноудаленных от заряженной плоскости. Использование теоремы Гаусса в этом случае немедленно приводит к известному выражению (8.4).