Электродинамика в релятивистских обозначениях, страница 4

15.4.   Решение неоднородного уравнения Д'Аламбера

              Решение неоднородного уравнения Д'Аламбера удобно построить как обобщение решения уравнений Пуассона (2.26) и  (9.7) на случай зависящих от времени распределений источников поля.  Первоначально уравнение Пуассона выводилось для макроскопически усредненных полей, что допускало замену распределения точечных зарядов - источников непрерывным распределением, описываемым специально вводимой непрерывной функций - плотностями электрических зарядов и токов. Однако в математике существует возможность распространить такое описание и на случай дискретных источников поля - (например, точечных зарядов). Для этого (и решения сходных проблем) вводится  так называемая дельта функция, значение которой отлично от нуля только в одной точке (в случае описания точеного заряда этой точкой является точка его нахождения). В этой особой точке значение дельта функции полагается столь большим, что интеграл от нее оказывается равным единице (математически строго определение дельта функции выходит далеко за пределы рассматриваемого здесь круга вопросов и может быть найдено в курсах по обобщенным математическим функциям). Использование аппарата дельта- функции позволяет записать уравнение Пуассона для потенциала, создаваемого расположенным в начале координат точечным зарядом в виде, аналогичным случаю непрерывно распределенной плотности заряда (15.29). Сферически симметричное решение уравнения (15.29) для потенциала, создаваемого точечным зарядом вне точки его нахождения было получено ранее (1.18).

              Естественным обобщением уравнения Пуассона для зависящего от времени потенциала, создаваемого неподвижным точечным зарядом, величина которого изменяется во времени, является неоднородное уравнение Д'Аламбера, правая часть которого содержит дельта - функцию от координат (15.30).  Для получения сферически симметричного решения уравнения (15.30) удобно  переписать оператор Лапласа в виде, содержащем  только дифференцирование по расстоянию до точечного заряда R (15.31). При этом для всех точек, не содержащих точечный заряд, неоднородное уравнение Д'Аламбера сводится к однородному одномерному уравнению волны типа (14.33) для произведения искомого потенциала на расстояние от текущей точки до начала координат (15.32). Ранее полученное решение однородного уравнения Д'Аламбера для одномерного случая  (14.34) позволяет легко найти решение поставленной задачи для точек, не содержащих заряда (15.33). Принцип причинности позволяет устранить неоднозначность выбора знака в аргументе входящей в решение произвольной функции f  . Имеющийся произвол в выборе самой функции устраняется  естественным требованием  соответствия решения (15.33) исходному уравнению не только во всех точках пустого пространства, но и в точке нахождения самого заряда -  источника поля (15.34). Для доказательства справедливости выбора вида функции (15.34), достаточно подставить полученное решение в исходное уравнение (15.30) и перейти к пределу R®0  (15.35).

              Полученное решение для потенциала, создаваемого точечным зарядом, легко обобщается на случай произвольного пространственного распределения зарядов, плотность которых изменяется во времени  (15.36). Полная аналогия между неоднородными уравнениями Д'Аламбера для скалярного и векторного потенциалов позволяет легко записать выражение для векторного потенциала, создаваемого заданным пространственным распределением изменяющихся во времени токов.