Электродинамика в релятивистских обозначениях, страница 7

              Пространственные компоненты четырехвектора силы (15.6) легко выражаются через соответствующие компоненты "трехмерного вектора силы", которые, в свою очередь, определяются электрическим и магнитным полем в точке нахождения заряда. В результате возникает компактное выражение, представляющее связь четырехвектора силы  с четырехвектором скорости частицы и антисимметричным тензором электромагнитного поля (15.50). Возникающие в конечном выражении "лишние" минусы могут быть легко устранены путем введения операции свертки , являющейся естественным обобщением операции скалярного перемножения векторов. Как и в случае перемножения четырехвекторов, при вычислении свертки слагаемые, содержащие произведения пространственных компонент, следует брать со знаком "-".

              Как и следует ожидать, аналогичное  (15.50) равенство (15.51) для временной компоненты четырехвектора силы так же оказывается справедливым.

              С учетом четырехмерных обозначений уравнение движения заряженной частицы в электромагнитном поле может быть записано в компактном виде (15.52).

	(15.50)	Выражение пространственной компоненты четырехвектора силы через четырехвектор скорости и полевой тенор.
	(15.51)	Выражение временной компоненты четырехвектора силы через четырехвектор скорости и полевой тензор.
	(15.52)	Уравнение движения заряженной частицы в электромагнитном поле.

Задачи для самостоятельного решения

15.1.  Показать, что скалярное произведение двух четырехвекторов, определяемое соотношением (15.2), инвариантно относительно преобразований Лоренца (15.1)

Указание: записать скалярное произведение через компоненты четырехвекторов и применить к каждой из компонент преобразование Лоренца.

15.2.  Вычислить квадраты четырехвекторов скорости.

15.3.  Построить четырехвектор ускорения и вычислить его квадрат.

15.4.  Показать, что с точки зрения математики проблема выбора потенциалов в калибровке Лоренца сводится к решению неоднородного уравнения Д'Аламбера.
Указание: в случае, если для выбранных векторного и скалярного потенциалов условие калибровки Лоренца не выполняется, дивергенция векторного потенциала и производная по времени скалярного могут отличаться не более, чем на  скалярную функцию.

15.5.  Непосредственным вычислением показать, что в случае действия на сферически симметричную функцию от координат оператор Лапласа может быть представлен в форме, даваемой соотношением (15.31).

15.6.  Попытайтесь выполнить без ошибок все вычисления и получить окончательное выражение  (15.40) для электрического поля, создаваемого расположенным в начале координат переменным диполем.

15.7.  Получите достаточно простое выражение для электрического поля, создаваемого расположенным на большом расстоянии от наблюдателя электрическим диполем, совершающим гармонические колебания.

15.8.  Подобно тому, как это было сделано в Примере 15.4, обоснуйте релятивистские формулы преобразования магнитных полей (15.46).

15.9.  Используя соотношения (15.47)  имеющиеся у Вас навыки решения задач электростатики, рассчитайте магнитные поля, создаваемые а) равномерно движущимся с заданной (нерелятивистской) скоростью равномерно заряженным по объему шаром; б) равномерно заряженным по объему длинным цилиндром, движущимся с заданной скоростью в направлении, параллельном его оси; в) равномерно заряженным по объему длинным цилиндром, движущимся с заданной скоростью в направлении, перпендикулярном его оси.

15.10.  Равномерно заряженный по поверхности длинный цилиндр заданного радиуса равномерно катится без проскальзывания по гладкой горизонтальной плоскости. Найти электромагнитное поле, создаваемое цилиндром.

Указание: перейти в систему отсчета, в которой ось цилиндра остается неподвжной.

Соотношения, которые полезно помнить
	Закон сохранения электрического заряда
	Связь четырехвектора потенциала с четырехвектором плотности тока.
	Определение полевого тензора
	Связи компонент векторов электрического и магнитного полей с элементами матрицы полевого тензора.
	Уравнение движения заряженной частицы в электромагнитном поле.