Электродинамика в релятивистских обозначениях, страница 2

              Четырехвектор силы удобно ввести, пользуясь аналогией с  классической механикой и уже использованным правилом построения новых четырехвекоров с помощью операции инвариантного дифференцирования (15.6). Связь между "обычными" компонентами трехмерной силы и импульсом дается соотношением (15.7), представляющим собой релятивистский аналог второго закона Ньютона.

	(15.1)	Определения произвольного четырехвектораА и фундаментального для CТО четырехвектора R. Преобразование компонент четырехвекторов при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую, движущуюся относительно исходной со скоростью v.
	(15.2)	Определение скалярного произведения двух четырехвекторов и квадрата длины четырехвектора.
	(15.3)	Определение операции инвариантного дифференцирования по времени.
	(15.4)	Четырехвекторы скорости и импульса.
	(15.5)	Физический смысл нулевой компоненты четырехвектора импульса.
	(15.6)	Определение четырехвектора силы /в последнем выражении m=m(v)! /
	(15.7)	Релятивистский аналог второго закона Ньютона.

Пример 15.1.     Квадрат четырехвектора энергии-импульса

Вычислить квадрат четырехвектора энергии-импульса.

Решение:

Воспользовавшись правилом сколярного перемножения четырехвекторов (15.2) и явным выражением для компонент четырехвектора энергии-импульса  (15.4), легко вычислить скалярное произведение последнего на себя (15.8). Рзультат, как и ожидалось, оказывается релятивистски инвариантной величиной.

(15.8)

15.2.   Четырехмерный аналог оператора Ñ

              Для вывода явного выражения для четырехмерного аналога оператора пространственного дифференцирования удобно рассмотреть приращение какой-либо скалярной функции от координат и времени (15.9). Осуществляя аналогичное разложения для другой системы отсчета (15.10) (в которой, разумеется, скалярная функция остается неизменной!). С помощью преобразований Лоренца приращения координат в движущейся системе (15.10) могут быть выражены через аналогичные приращения в исходной системе (15.9), после чего из сравнения коэффициентов при одинаковых приращениях нетрудно получить закон преобразования частных производных, входящих в выражения для оператора пространственно-временного дифференцирования (15.11). Преобразования (15.12), обратные (15.11), имеют знаки, противоположные тем, что использовались в преобразованиях Лоренца.(15.1). Для устранения этого досадного неудобства разумно определить четырехмерный аналог оператора пространственного дифференцирования ("набла") так, чтобы знаки перед его пространственной частью были заменены на противоположные (15.13).

              Таким образом определенный четырехмерный оператор пространственного дифференцирования совместно с релятивистским правилом скалярного перемножения векторов позволяют весьма компактно записать выражение для приращения скалярной функции в виде, совершенно аналогичном трехмерному случаю (15.14).

              Аналогично (15.14) четырехмерный оператор Ñ  может использоваться  для компактной записи четырехмерной дивергенции (15.15).

	(15.9)	Разложение в ряд Тейлора скалярной функции, зависящей от координат и времени.
	(15.10)	Аналогичное (15.9) разложение, выполненное в другой инерциальной  системе отсчета.
	(15.11)	Закон преобразования для частных производных - компонент четырехвектора Ñ.
	(15.12)	Преобразования, обратные (15.11)
	(15.13)	Определение четырехмерного оператора пространственного дифференцирования.
	(15.14)	Приращение скалярной функции, выраженное через операцию четырехмерного градиента.
	(15.15)	Запись операции четырехмерной дивергенции при помощи четырехкомпонентного оператора пространственного дифференцирования.