Физика \ Физика

Электродинамика в релятивистских обозначениях, страница 5

(15.29)

Уравнение Пуассона для потенциала в случае точечного заряда, расположенного в начале координат и его решение.

(15.30)

Уравнение для потенциала, создаваемого неподвижным точечным зарядом, величина которого изменяется во времени.

(15.31)

Упрощенное выражение для оператора Лапласа в случае его действия на сферически - симметричную функцию координат.

(15.32)

Уравнение для потенциала, создаваемого переменным неподвижным зарядом в точках пространства, не содержащих этого заряда.

(15.33)

Решение уравнения (15.32) / f - любая функция, дифференцируемая нужное число раз/.

(15.34)

Конкретный вид функции f, удовлетворяющий уравнению (15.30) в точке нахождения заряда.

(15.35)

Доказательство правильности выбора решения (15.33) - (15.34)

/ В области R®0 первое слагаемое ведет себя как R-3 , а второе - как R-1. Последнее, очевидно, может быть отброшено..

(15.36)

Решение неоднородного уравнения Д'Аламбера для скалярного и векторного потенциалов.

Пример 15.4. Электромагнитное поле электрического диполя, совершающего гармонические колебания.

Рассчитать электрическое и магнитное поле в заданной точке пространства, создаваемое электрическим диполем, величина момента которого d(t) изменяется во времени по гармоническому закону.

Решение:     

              Для расчета магнитного поля достаточно найти векторный потенциал в произвольной точке пространства, задаваемой вектором R. Считая размеры диполя малыми, по сравнению с расстоянием до точки наблюдения, можно существенно упростить решение (15.36) для векторного потенциала (15.37). Магнитное поле вычисляется как ротор векторного потенциала (15.38). Для дальнейшего изучения курса оптики оказывается важным приближенная формула для магнитного поля, создаваемого переменным диполем на большом расстоянии от него, в так называемой волновой зоне, где существенным оказывается только одно слагаемое, спадающее с расстоянием пропорционально r-1  (15.39).

              Для нахождения электрического поля, создаваемого переменным диполем, в соответствии с (15.20) необходимо вычислить скалярный потенциал. Последний может быть найден из решения (15.36), однако возможен и другой, более простой путь - вычисление потенциала, исходя из условия калибровки Лоренца (15.22). Окончательное выражение для электрического поля оказывается несколько громоздким (15.40), но допускает существенные упрощения на больших расстояниях от диполя.

(15.37)

Векторный потенциал, создаваемый совершающим гармонические колебания диполем, расположенным в начале координат.

(15.38)

Магнитное поле, создаваемое расположенным в начале координат колеблющемся электрическим диполем.

(15.39)

Магнитное поле, создаваемое переменные электрическим диполем в волновой зоне.

(15.40)

Электрическое поле, создаваемое переменным диполем.

15.5.   Релятивистские законы преобразования полей

              Магнитное поле может быть выражено через пространственные производные от пространственных компонент четырехвектора потенциала (15.41). Для придания полученному выражению более явного четырехмерного вида необходимо включить в рассмотрение аналогичные производные, включающие временные компоненты четырехвекторов. Т.о. целесообразно рассмотреть антисимметричный тензор, представляемый матрицей 4´4, элементы которой  составлены из компонент оператора четырехмерного дифференцирования и четырехвектора потенциала аналогично тому, как в трехмерном случае вводились компоненты ротора (15.42). Как уже было показано 6 элементов матрицы введенного тензора представляют собой взятые с различными знаками компоненты вектора магнитной индукции (15.43).

Скачать файл