Электродинамика в релятивистских обозначениях, страница 6

              Для выяснения физического смысла оставшихся недиагональных элементов (содержащих в качестве индексов "нулевую компоненту" - t , достаточно вычислит соответствующие разности производных. Учитывая определение скалярного потенциала в Лоренцевой калибровке (15.20), нетрудно убедиться, что указанные 6 элементов тензора F представляют собой взятые с различными знаками компоненты вектора электрического поля (15.44). Диагональные элементы построенного антисимметричного тензора, очевидно, равны нулю. Т.е. в рамках математического формализма четырехмерных обозначений компоненты векторов электрического и магнитного полей в вакууме представляют собой недиагональные элементы матрицы антисимметричного тензора второго ранга, построенного из компонент двух четырехвекторов: оператора дифференцирования и потенциала (15.45).

              Для нахождения релятивистских законов преобразования полей при переходе в другую инерциальную систему отсчета достаточно воспользоваться преобразованиям Лоренца (15.1) для компонент каждого из четырехвекторов, составляющих тензор второго ранга (15.45), в результате чего получаются законы преобразования элементов тензора (15.46).  Полученные соотношения для преобразования полей можно записать в более краткой и элегантной векторной форме (15.47). Полученные формулы в классическом пределе  u®0 согласуются с полученными в рамках магнитостатики соотношениями, связывающими магнитное и электрическое поля, создаваемые системой зарядов, движущейся с одинаковыми постоянными скоростями (см. задачу 8.5). С позиций настоящего рассмотрения данный результат является не случайным совпадением формул, а представляет собой закономерное следствие  релятивистских законов, связывающих электрические и магнитные поля.

Пример 15.5. Релятивистский закон преобразования электрических полей.

                            Используя связь  компонент вектора электрического поля с элементами матрицы тензора F, получить законы преобразования электрических полей при переходе в движущуюся систему отсчета.

Решение:     

Для нахождения законов преобразования компонент вектора электрического поля, достаточно их выразить через компоненты четырехвекторов оператора дифференцирования и потенциала, после чего воспользоваться известными релятивистским законами  преобразования компонент этих четырехвекторов. В результате оказывается, что х - составляющая вектора Е (т.е. составляющая, сонаправленная с вектором скорости движения штрихованной системы отсчета) остается инвариантной относительно преобразований Лоренца (15.48). Что же касается двух оставшихся (поперечных) компонент вектора электрического поля, то закон их преобразования оказывается более сложным (15.49).

15.6.   Уравнение движения частицы в электромагнитном поле