Специальная теория относительности. Преобразования Лоренца. Промежуток времени между событиями. Длина отрезка. Лоренцово сокращение. Четырехмерное пространство Минковского. Интервал. Собственное время. Сложение скоростей

12. Специальная теория относительности.

Преобразования Лоренца. Промежуток времени между событиями. Длина отрезка. Лоренцово сокращение. Четырехмерное пространство Минковского. Интервал. Собственное время. Сложение скоростей. Аберрация света. Релятивистская механика частицы. 4 – скорость. 4 – ускорение. Четырехмерное уравнение движения. 4 – импульс. Сила Минковского. Энергия частицы. Принцип эквивалентности. Движение заряженной частицы во внешнем  электромагнитном поле в вакууме. Циклотронная частота. Эффект Доплера. Аберрация света. Преобразования Лоренца 4 – потенциала и 4 – тока в электродинамике. Тензор электромагнитного поля в вакууме. Тензор индукции. Релятивистская 4 – сила Лоренца. Тензорная форма уравнений Максвелла.

12.1. Преобразования Лоренца. Промежуток времени между событиями. Длина отрезка. Лоренцово сокращение. Четырехмерное пространство Минковского.

Экспериментальным фактом является то, чтов вакууме распространяются электромагнитные волны с определенной скоростью . Эта скорость не зависит от выбора инерциальной системы отсчета. На первый взгляд это кажется неверным, так как противоречит закону сложения скоростей классической механики. Согласно этому закону, если  скорость волны в инерциальной системе отсчета , то в другой инерциальной системе отсчета  скорость волны должна быть , где  - скорость системы  относительно системы Дело в том, что необходимо отказаться от абсолютного характера времени и от преобразования Галилея для координат в системах отсчета  и :

,   ,

где  - время, одинаковое в обеих системах отсчета.

            Покажем, что в электродинамике справедливо другое преобразование (оно называется преобразованием Лоренца) для координат и времен событий в инерциальных системах отсчета  и . Рассмотрим процесс распространения плоских электромагнитных волн в вакууме, описывая его волновым уравнением в инерциальной системе

                                                ,

тогда соответствующее волновое уравнение в инерциальной системе отсчета  должно иметь вид

                                                ,

где учтено, что . Так как обе системы отсчета инерциальные, то имеет место неизменность (инвариантность) волнового уравнения и . Такая связь невозможна, если справедливо преобразование Галилея. Волновые уравнения – линейные, поэтому должно существовать линейное преобразование координаты и времени события в виде

                                    ,

где  - некоторые константы, зависящие от параметров, описывающих задачу (определяющих параметров)  ( - относительная скорость движения систем отсчета). Первая производная по координате  представляется в виде

                                    ,

где учтено, что  и вторые производные связаны соотношениями

                                    ,

                                    .

Неизменность (инвариантность) волнового уравнения при переходе в другую инерциальную систему отсчета приводит к трем условиям

                        .

Имеет место преобразование координаты . Для того, чтобы это новое преобразование переходило в преобразование Галилея при , необходимо взять . Следствием последнего является представление . В результате получим получим преобразование Лоренца

                        ,                     .                      (12.1)

Принципиально новым в преобразовании Лоренца по сравнению с преобразованием Галилея является то, что время  в системе  отличается от времени  в системе . Инвариантность скорости света обеспечивается в результате отказа от абсолютного характера времени.

            Рассмотрим два события, происходящие в точке  системы  в моменты  и . В системе  в точке  соответствующие моменты времени представляются в виде

                                    ,                    

и промежутки времени между событиями в двух системах связаны соотношением

                                                ,

показывающим, что эти промежутки времени отличаются. Отметим важное обстоятельство. Промежуток времени в системе  определяется по одним часам  (эти часы находятся в точке ). Показания времени  и  определяются по двум различным, разнесенным в пространстве часам  и .

            Рассмотрим длину отрезка (стержня) в двух инерциальных системах отсчета. Пусть стержень длиной  покоится в системе . Найдем координаты  концов этого стержня в системе  в один и тот же момент времени . Из преобразования Лоренца имеем

                                                .

Взяв , получим связь

                                                .

Наибольшую длину стержень имеет в той системе отсчета, в которой он покоится. Эту длину называют собственной длиной стержня. Уменьшение длины стержня в системе  по сравнению с собственной длиной в  раз называют лоренцевым сокращением.

            Из преобразований Лоренца следует

                                                ,

то есть, величина  является инвариантной. В общем случае имеется инвариантность квадратичной формы

.                       (12.2)

            Представляется удобным ввести четырехмерное пространство (4 - пространство) псевдоевклидово пространство Минковского. Оно представляет совокупность точек (), где  (четвертая координата является мнимой величиной). Точки в этом пространстве называют мировыми точками. Каждой такой точке соответствует некоторое событие. Инвариантность квадратичной формы (12.2) означает, что преобразованию Лоренца соответствует поворот системы координат в пространстве Минковского.